Zur Theorie der automorphen Ftmhtionen beliebig vieler Veränderlichen. 25 



(66) y i 



welche sich ans (65) für xi = X2= • ■ • = x„ = ergibt, ist dann auch absolut konvergent. Weil 

 nun die (Quotienten -^ii±iiA_, "» + i<'' ^ welche bis auf das Vorzeichen gleich den Koordina- 



"b + I.h + I "m + I./i + I 



ten der Transformierten des Nullpunktes sind, dem absoluten Betrage nach kleiner als Eins sind, 

 so ist die Reihe mit dem allgemeinen Glied (64) und dann also auch die Reihe (62) für xi = X2 = 

 = . . = x„ = absolut konvergent. Wie in N:o 23 schliesst man hieraus, dass die Reihe (62) 

 dann auch in jedem endliciieu. von den Hauptgrenzgebilden in endlicher Entfernung gelegenen 

 Bereich absolut und gleichmässig konvergiert. 



29. Es seien jetzt 



(67) //] . H 2 H „ 



rationale Funktionen, welche in den Hauptgrenzpunkten endliche Werte besitzen. Wir bilden 

 die n Reiheu 



(68) (f,{xi.X2 x„) = J^ ^ HAX1.X2 X,.)^ (Jc=l.2 n). 



s i = 1 ' 



welche ausserhalb der Unstetigkeiten der rationalen Funktionen (67) und ihrer Transformierten 

 gleichzeitig mit der Reihe (60) absolut konvergieren. Der Ausdruck 



n n 



(69) 2] ^*- i^i-^2 x„)dxi, = J^'£^ Hi (.Yi, X2. . . ., X„) d Z, 



i= 1 Ä i = 1 



Stellt dann ein einfaches automorphes Differential dar, wie aus seiner Form unmittelbar hervor- 

 geht. (69) ist ein totales automorphes Differential, wenn die Bedingungen 



dH dH„ 



ei'füUt sind. 



Wir betrachten hiernach allgemeine Ausdrücke der Form 



(71) (f^^p^_...^,(Xi.X2....,x„)=y V H,^,^...,,JXi ^"^ T(-^-T.-^7y ' 



wo sich die äussere Summe auf sämtliche Substitutionen (1) der gegebenen Gruppe bezieht, die 

 innere auf sämtliche (^!) verschiedene Kombinationen von h unter den Funktionen Zi, X2, . . .. Z„' 

 und wo die Ausdrücke H rationale Funktionen sind, welche in den Hauptgreuzpunkten endüche 

 Werte besitzen. Aus der oben bewiesenen absoluten und gleichmässigen Konvergenz der Reihen 

 (60) folgt offenbar, dass die Reiheu (71) in jedem endlichen, ausserhalb der Hauptgreuzgebilde 

 gelegenen Bereiche nach Fortlassung endlich vieler Glieder absolut und gleichmässig konver- 

 gent sind. 



Wir bilden jetzt den Ausdruck 



(72) 2^ (fp^...^j^{xx-- ■x„)dxi---dXp^.= 'Y^ ^] -^s,- •••u-^^i X„)dX^^- • • dX^^, 



N:o 3. * 



