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die innere Summierung- erstreckt über die («) verscliiedeueu Kombinationen der n Indizes. Der- 

 selbe ist ein automorphes Differential /t'" Ordnung und insbesondere ein totales automorphes 

 Differential, wenn die rationalen Funktionen H einem gewissen System von partiellen Differen- 

 tialgleichungen genügen, welche den Bedingungen (70) entsprechen. 



Im niedersten Falle fc=l reduzieren sich die Reihen (71) auf die einfachen Reihen (69). 



im Falle fc = w erhält man die Reihen 



„ (?(XpXo A'„) 



(73) <fi.2.--.>.(xu^^2 a;„) = 2_^Ä(Xi.X2 X„) ^(^^,^.^;.. ,3.^ , • 



welche mit dxidx2---dx„ multipliziert m -fache automorphe Differentiale darstellen und welche 

 zugleich Picardsche Reihen sind. 



30. Es ist auf eine andere wesentlich verschiedene Weise möglich, die oben eingeführ- 

 ten Reihen mit automorphen Funktionen in Verbindung zu setzen. 



Wir betrachten der Deutlichkeit halber zuerst die Reihen (68). Wir eisetzen die Argumente 

 Xi durch Siixi x„). wo S, eine ))Hliebig-e Substitution der Gruppe ist. Weil die Substi- 

 tution (Z)' = (SZ). oder ausführlicher geschrieben 



(74) X'i(xuX2 x„)^X^{Si.S2 ti„) (i=1.2 n) 



bei festgehaltenem S zugleich mit (A') die Gruppe durchläuft, so erhält man. mit Rücksicht auf 

 die aus (74) sich ergebenden Gleichungen 



dX,{Si,S2 g,.) _ y ^x'.{x^.X2.■.■,x„} f)x, 



(75) . j-s^ I^^ dx, 0.^; 



als Resultat die Relationen 



(76) (fiiSi. So S„) = 2j V>(-t'i- -''a- • • •' ^") rfs". 



v 



Es seien jetzt 



(77) V^\<fV fT ("=1-2 '') 



n verschiedene Systeme von Funktionen (68). Wegen der Gleichungen (76) kann man schliessen, 

 dass die Determinante 



(78) ^,{xi.X2 x-„) = >i" 'pT-'^T'I 



eine analytische Funktion ist. deren Verhalten den Substitutionen der Gruppe gegenüber durch 



die Funktionalgleichung 



(d(S^,S^,...,S„)\-' 



(79) Ai (.9i. S, S„) = Ai (^1- ''-■2 •^'") (,7^.rj,a;,,...:^ j 



ausgedrückt wird. Der Quotient zweier derartigen Determinanten ist daher eine automorphe 



Funktion der gegebenen Gruppe. 



Tom. L. 



