Einleitung. 



Die vorliegende Arbeit ist dur Darstellung und den wichtigsten Anwendungen einer all- 

 gemeinen funktionentheoretischen Methode gewidmet. Diese Methode besteht im Wesentlichen 

 in einer möglichst vollständigen Verwertung der einfachen Tatsache, dass der Logarithmus 

 des absoluten Betrages einer innerhalb eines gewissen Gebietes nieromorphen Funktion f{x) 

 eine eindeutige harmonische Funktion ist, die in den Nullstellen und Polen der Funktion 

 fix) negativ bzw. positiv logarithiuisch unendlich wird*). Behandelt man diese harmonische 

 Funktion, log f{x) ., nach bekannten, in geeigneter Weise verallgemeinerten potentialtheore- 

 tischen Methoden, so ergeben sich einige fundamentale Gleichungen und Ungleichungen allge- 

 meiner Art, aus denen sich eine Reihe funktionentheoretischer Prinzipien und Sätze fast un- 

 mittelbar herleiten lassen. 



Schon aus der Natur der angewandten Methode geht hervor, dass dir Resultate dieser 

 Arbeit etwas über die allgemeinen Beziehungen aussagen, welche zwischen dem Verhalten des 

 absoluten Betrages einer analytischen Funktion auf dem Rande eines Gebietes einerseits, und 

 der Grösse desselben innerhalb des Gebii^tes anderseits bestehen, wobei in einigen Sätzen auch 

 die Verteilung der Nullstellen und Pole der Funktion Beachtung findet. Teils sind unsere 

 Ergebnisse schon früher bekannt, jedoch meistens in einer unvollständigen und mit unnötigen 

 Einschränkungen behafteten Form, was seinen Grund darin hat, dass sie bisher mittels spe- 

 zieller und manchmal künstlicher Methoden hergeleitet wurden, die oft dem Wesen der Sache 

 fremde Einschränkungen nach sich zogen. Dagegen erscheinen diese Resultate in der in dieser 

 Arbeit gegebenen Behandlung — als natürliche, sich selber darbietende Ergebnisse einer ein- 

 zigen und allgemeinen Methode — in einer dem Wesen der Sache entsprechenden Allgemein- 

 heit und Präzision, die meistens endgültig sein dürfte. 



1) Die Hauptresultate dieser Arbeit haljen wir in zwei Vorträgen auf dem 5. skandinavischen Matlie- 

 matikerkongress in Helsingfors 1922 kurz dargestellt (vgl. die Verhandlungen des Kongresses). Während 

 der liedaktion unserer Arbeit wurden wir darauf aufmerksam gemacht, dass Herr Carleman schon früher 

 die von uns entwickelte Methode zum Beweis einiger funktionentheoretischen Sätze benutzt hat (vgl. Sur les 

 fonctions inverses des fonctions entières d'ordre fini, Arkiv för mat., astr. o. fys. Bd. 15. N:o 10, 1920, und Sur 

 un them-ème de M. Denjoy, Comptes rendus, t. 174, 1922, p. 373). Es scheint uns jedoch, dass die von Herrn 

 Carleman behandelten Probleme von so spezieller Art sind, dass die grosse Tragweite der angewandten 

 Methode nicht genügend hervorgeht. 



