4 F. und R. Nevanlinna. 



Im ersten Abschnitt wird mit Hilfe der GREENScheu Integraltrunsformationsiorniel eine 

 allgemeine Beziehung hergeleitet, die das Fundament der ganzen Abhandlung bildet. Als 

 wichtigsten Spezialfall ergibt diese Beziehung eine Formel, die als natürlichste und allgemeinste 

 Form des bekannten JENSENSchen Satzes aufzufassen ist. Aus diesem verallgemeinerten 

 JENSENschen Satz wird alsdann eine allgemeine funktionenthooretische Ungleichung hergeleitet, 

 die den natürlichen Ausgangspunkt für sämtliche Untersuchungen des zweiten Abschnittes bildet. 



Im zweiten Abschnitt wird mit Hilfe der obenerwähnten allgemeinen Ungleichung zuerst 

 ein funktionentheoretisches Prinzip bewiesen, das in möglichst allgemeiner und präziser "Weise 

 eine früher von mehreren Autoren behandelte Fragestellung beantwortet; dieses Prinzip, wel- 

 ches als speziellen Fall auch eine Verallgemeinerung des bekannten HADAMARDSchen Dreikreis- 

 satzes enthält, dürfte von Bedeutung sein bei Behandlung von Fragen, avo es sich um das 

 Verhalten einer analytischen Funktion in der Nähe einer singulären Stelle oder Linie handelt. 

 Zur Erläuterung des Prinzips wird ein neuer einfacher Beweis eines wichtigen Satzes von 

 MoNTEL und LiNDELÖP Über die Konvergenzwerte beschränkter Funktionen gegeben. Als 

 zweite Anwendung der erwähnten allgemeinen funktionentheoretischen Ungleichung wird ein 

 allgemeines Kriterium für die Beschränktheit einer innerhalb eines beliebigen Gebietes regulä- 

 ren Funktion gegeben. Dieses Kriterium ergibt als spezielle Fälle und in verallgemeinerter 

 und verschärfter Form diejenigen Erweiterungen des Prinzips des Maximalmoduls einer ana- 

 lytischen Funktion, welche von Phragmén und Lindelöf in einer bekannten Arbeit gegeben 

 wurden. Schliesslich werden in diesem xVbschnitt einige Untersuchungen allgemeiner Art an- 

 gestellt, welche u. A. eine Erweiterung des bekannten FATouschen Satzes über die Existenz 

 von Randwerten einer innerhalb eines Kreises beschränkten Funktion liefern. 



Im dritten und letzten Abschnitt wird die im ersten Abschnitt hergeleitete Grund- 

 formel zum B(!weis einer Reihe von allgemeinen Sätzen angewendet, welche die Beziehungen 

 zwischen dem Verhalten des absoluten Betrages einer analytischen Funktion im Innern und 

 auf dem Rande eines Gebietes und der Verteilung der Nullstellen und Pole der Funktion 

 behandeln. Insbesondere heben wir die Sätze hervor, welche hinreichende Bedingungen für 

 das identische Verschwinden einer analytischen Funktion geben; durch diese Sätze haben, 

 unseren Erachtens, einige früher nur unvollständig erkannte Sachbestände ihre endgültige und 

 sachgemässe Formulierung und natürlichste Begründung gefunden. 



Tom. L. 



