über die EigenscJiufUn unabjL Fiiiikl. in der l'vuji:bim() einer siii.()ul. Sicile oder Linie. 



I. Die grundlegenden Formeln und Ungleichungen. 



1. Im Folgenden bezeichnet. G ein ein- oder mehrt';icli zusainnicnbängeiidcs Gebiet, dessen 

 Rand r aus einer endliclien Anzahl regulärer analytischer Kurvenstücke zusammengesetzt ist. 

 Sei fix) eine innerhalb und auf dem Rand(; r des Gebietes G eindeutige») meromorphe Funk- 

 tion der komplexen Variable x= a + ii^re''''. Die Nullstellen und Pole der Funktion innerhalb 

 des Gebietes seien %, «3. •■•>«« bzw. biJi.,, . . .,b„\ der Einlachheit wegen nehmen wir an, 

 dass die Funktion auf dem Rande f regulär und von Null verschieden ist. Wir umgeben die 

 Nullpunkte a^ und die Pole b, mit kleinen Kreisen y{a^) bzw. yCb.) vom Radius q und denken 

 uns diese Kreisscheiben aus dem Gebiet G entfernt; innerhalb und auf dem Runde des so 

 entstandenen Bereiches Gq ist dann log!/(a;)| eine eindeutige reguläre harmonische Funktion 

 und somit Alogl /(a;) | = 0, wo A den Laplaceschen Ausdruck 



A--^ + ~- ^ — 

 do- dt- r ör' 



y drj^ r"- dc(,' 



bezeichnet. 



Sei ferner ^(x) eine beliebige reelle Funktion, bezüglich deren vorläufig nur angenommen 

 werden soll, dass sie nebst ihren partiellen Ableitungen der zwei ersten Ordnungen innerhalb 

 und auf der Berandung des Gebietes G stelig ist. 



Nach diesen Festsetzungen werden wir von der Greenschen Integraltransformationsformel 



I (n A II — va u) dff = — I (u^ — V ,"']ds 



Gebrauch machen, welche das Flächenintegral links in das dem Rande entlang genommene Li- 



uienintegral rechts überführt. Hierbei bezeichnet da das Flächenelement, ds das Bogenelement 



des Randes und ^ die nach der inneren Randnormale genommene Ableitung. Bringt man 



diese Transformationsformel im oben definierten Gebiet G^ zur Anwendung indem man u = log | / 



und r = A setzt, so ergibt sich zunächst, da Alogi/l = innerhalb G», y/^^'^'"''Vyr 



j\og f AXda^-j{log\f\^/^-X^]og\f\)ds 

 Gff r 



fi — m v = n 



Schreibt man x = ai^ + ge^^ , so ist, wenn die Ordnung der Nullstelle a,, mit /t,, bezeichnet 



wird, 



log i / (x) I = hl, log Q + a),,(x) , 



wo u)a{x) eine in der Umgebung des Punktes a,, reguläre harmonische Funktion bezeichnet. 

 Auf dem Kreis /(«/x) ist demnach 



(1) 



1) In der Tat genügt für das Folgende, dass der absolute Betrag der Funktion eindeutig ist. 

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