F. und R. N E V A N L 1 N N A. 





und somit 



' dn dn 



J 



{\os\f\§^-l^log'f')ds^ 



2;r 2ir 2,t 



' 



Hieraus ist zu ersehen, dass das Integral links für (i->0 sich dem Grenzwert —2:n-h,c'i-{a,,) 

 nähert, denn das erste und dritte Glied rechts verschwinden hierbei, während das mittlere 

 Glied den obengenannten Grenzwert liefert. 



Eine ähnliche Überlegung z^igt, dass für q — 



falls K die Multiplizit;it des Poles b. bedeutet. Folglich erhalten wir aus (1) für ^ — 



wo § den Rand r durchläuft und die Summen links über sämtliche Nullstellcn und Pole der 

 Funktion f{x) innerhalb G, mil Beachtung der respekiiven MuUiplizUäten, zu erstrecken sind. 

 Diese Formel wird der Ausgangspunkt sämtlicher Untersuchungen dieser Arbeit sein. 



2. Bei den Anwendungen der oben hergeleiteten fundamentalen Formel kommt es vor 

 allem darauf an die, bis auf gewisse allgemeine Stetigkeitseigenschaften, willkürliche Hilfsfunk- 

 tion X{x) in zweckmässiger Weise festzulegen. Diese Wahl wird je nach den Umständen und 

 verfolgten Zwecken verschieden ausfallen: indessen wollen wir in diesem Artikel, vorläufig ohne 

 Rücksicht auf bestimmte Anwendungen, zwei Spezialfälle der Formel (2) behandeln, welche 

 an sich von grossem Intresse sind. 



Nimmt mau A(a;) = l, so geht die Formel (2) über in 



fe-fc = -./„J^log|/(?),fls, 

 r 



wo /t und k die Anzahl der Nullstellen bzw. Pole der Funktion f{x) bezeichnen. Nun ist ge- 



à , I / I à , 



^log|/l = -^,( 



2^Jd(arg/), 

 r 



eine Relation, welche das Ärgumenlprinsip der Funktionentheorie zum Ausdruck bringt. 



Von grösserem Intresse ist diejenige allgemeine Formel, zu der man gelangt, wenn in (2) 



Tom. L. 



mäss der Caucliy-Riemannschen Gleichungen ;^log|/ j = — ^^(arg/) und wir erhalten somit 



h — k— o 



