ï^her (lie Eige^ifschaflen avalyl. Fnvki. in der Vmgelnmg einer singvï. Stelle oder TAnie. 7 



für /(.t) (lie Greensclie Funktion g{x,Xo) des Gebietes G, mit dem Pol in (3incm beliebigen 

 inneren Punl-;t aro, eingesetzt wird. Diese Funiction ist bekanntlicii durch folgende Eigen- 

 scii;iftiii eindeutig bestinmit: wird x = Xa + ae'^ gesetzt, so ist im Inneren des Gebietes G 



g{x,Xo)= log^ + ö), 



wo w eine in dem ganzen Gebiet eindeutige und reguläre liariunnischo Funktion ist; auf dem 

 Rande /' ist gÇï,Xo) = 0. Falls man also eine kleine Kreisumgebung vom Iladius q des Punktes 

 Xo aus dem Gebiet G entfernt, so kann die Formel (2) in dem so entstandenen Bereich für 

 k(x) = g{x,Xo) angewendet werden; lässt man hierauf o unbeschränkt gegen Null abnehmen, so 

 ergibt sich hieraus nach einer der oben S. 6 durchgeführten ähnlichen Überlegung 



log I / (xo) I = - 2] ff («M > a^o) + 2] ö" (^" ' ^o) ^ f^j log / (?) I j[ .91^'. -^'o) i^s . 



r 



Wird die zur f/(?,Jo) konjugierte Funktion mil —h('£,x„) bezeichnet, so ist 



dg _ ah 

 dn ds 



Ferner ist nach der bekannten Symmetrieeigenschaft der Groenschen Funktion fiip,q) = o(g.p). 

 Wenn man schliesslich statt Xa einfach x schreibt, so erhält man in dieser Weise die folgende 

 Gleichung: 



(3) log I f(x)\ = -J^g{x, «,„) + ^gix, h) + .}-^ Jlog [ / ( J) dh (Ï . X) , 



r 

 wobei in dem Integral der Rand r in positiver Richtung zu durchlaufen ist. 



Im Obigen wurde stillschweigend vorausgesetzt, dass der Punkt x für die Funktion f 

 weder ein Pol noch eine Nullstelle ist. Anderenfalls muss die Formel abgeändert werden. Sei 

 3 = x z.B. eine r-fache Nullstelle der Funktion f{s); man bilde dann die analytische Funktion 



, , —g(z,œ)+ ih(z,x) 



für welche z = x eine einfache und innerhalb des Gebietes G die einzige Nullstolle ist, und 

 deren absoluter Betrag auf dem Rande f gleich Eins ist. Der Quotient 



\(p{z,x)]'' 



ist eine im Gebiet G reguläre Funktion denm absoluter Betrag eindeutig ist und welche die- 

 selben Nullstellen und Pole wie f{z) hat, der Punkt z = x ausgenonmien, wo sie don endlichen 

 von Null verschiedenen Wert 



'•' lv'{x,oc)]'- 



annimmt; ferner ist auf der Berandung r |o>(ï)|= | /(?);. Wir können demnach die Formol 

 (3) auf die Funktion (D im Punkte x anwenden und erhalten so 



(3)' log^' -^!^^^.--Y! 9ix,a,) + X,0{x,b.) + ^ flog\fCé)\dh(lE,x), 



N:o 5. 



