8 " F. und R. Nevanlinna. 



wobei der Strich in der ersten Suname reclits andeuten soll, dass die r von dem Nullpunkt x 

 herrührenden Glieder fehlen. 



Falls wiederum x ein Pol r'"' Ordnung für die Punktion / ist, so kann man die Formel 



3)' auf die Funktion 7. anwenden. 



Die Formeln (3) und (3)' sind als eine direkte Verallgemeinerung des bekannten Jen- 

 SEN'schen Satzes anzusehen, welcher aus den obigen Formeln hervorgeht, wenn das Gebiet G 

 ein Kreis ist und x in dessen Mittelpunkt verlegt wird. Diese Verallgemeinerung des Jen- 

 senschen Satzes lässt eine grosse Menge von Anwendungen zu, die mit Hilfe des speziellen 

 Satzes nur schwer zu behandeln sind. 



3. Wir wollen schliesshch eine allgemeine Ungleichung hervorheben, die in der Folge von 

 Wichtigkeit ist und die sich aus der Gleichung (3) unmittelbar ergibt. 

 Es sei auf dem Rande /' des Gebietes G 



!/(?)l<C(i-), 



wo C(?) eine positive Funktion des Randpunktes ï ist; bei den Untersuchungen dieser Arbeit 

 wird C(ï) im allgemeinen eine, von einer endlichen Anzahl Sprungstellen abgesehen, stetige 

 Funktion sein. Führen wir dann die innerhalb des Gebietes G reguläre harmonische Funktion 



(4) Uix) = ~f\QgCg)dh{^,x) 



V 



ein, welche in jedem Stetigkeitspunkt der Funktion CÇî) sich dem Randwert logC(5) an- 

 schliesst, so ergibt die Formel (3) für jedf;n inneren Punkt x 



(5) log|/(a;)|îC-5^3(a;,a,0 + 29(^'M+f/(3"). 



Falls nun f{x) in dem Gebiet G regulär d. h. poll'rei ist, so fehlt die zweite von den Polen 

 herrührende Summe: da ferner die Greensche Funktion innerhalb G positive Werte annimmt, 

 so wird die rechte Seite der obigen Ungleichung jedenfalls nicht kleiner, wenn wir auch die 

 erste, von den eventuellen Nullstellen herrührende Summe weglassen. Es gilt somit, sobald 

 f(x) innerhalb G regulär ist. die Ungleichung 



(6) \og\fix)\<U{xy 



Betreffs des Gleichheitszeichens ist hierbei zu bemerken, dass es überall gilt sobald es nur in 

 einem einsigen inneren Punkt besteht. In der Tat: besteht das Gleichheitszeichen in einem 

 inneren Punkt, so folgt aus (6) erstens, dass keine Nullstellen vorhanden sein können, und 

 hieraus ferner, wegen der Voraussetzung |/(J)KC(S), dass CÇî) in jedem Stetigkeitspunkte 

 des Randes r gleich \f('S)\ sein muss. Folglich wird logj/(a;); innerhalb G eine reguläre har- 

 monische Funktion sein, welche dieselben Randwerte wie die harmonische Funktion [^(a;) 

 annimmt; diese zwei Funktionen sind somit identisch. 



Die gewonnene Ungleichung (6) ist für das Folgende von fundamentaler Bedeutung in- 

 dem alle Resultate des zweiten nachfolgenden Abschnittes mehr oder woniger unmittelbar aus 

 dieser Beziehung herfliessen. 



Tom. L. 



