liber die Eigenschaf len imahß. Fv.vkt. in der TJm,<jehv,n!i einer simiul. Stelle oder Linie. 9 



II. Über die Beziehungen zwischen dem Verhalten des absokiten 

 Betrages einer analytischen Funktion auf dem Rande eines 

 Gebietes und der Grösse desselben innerhalb des Gebietes. 



4. Der vorliegende Abschnitt ist (ünigen fiinktionentheoretischen Anwendungen der all- 

 gemeinen Ungleichung (6) gewidmet. Hierbei wollen wir in diesem Artikel zunächst einige 

 Bemerkungen allgemeiner Art über das Verfahren vorausschicken, das diesen Anwendungen zu 

 Grunde liegt und über den Charakter der Sätze, die mittels dieser Methode überhaupt gewon- 

 nen werden können. 



Sei G ein Gebiet obengenannter Art in der Ebene der komplexen Variable x = re'i>, und 

 j{x) eine analytische Funktion, bezüglich deren wir voraussetzen, dass sie in G eindeutig und 

 in jedem inneren Punkt des Gebietes regulär ist; betreffs des Verhaltens der Funktion auf 

 dem Rande r setzen wir also bis auf weiteres nichts voraus. Indem wir mit C{x) eine im 

 Inneren des Gebietes G definierte reelle, positive Funktion bezeichnen, nehmen wir noch an, 

 dass in jedem inneren Pnnkr des Gebietes die Ungleichung 



(7) \f{x)\<C{x) 



besteht, und wollen dann untersuchen, wie diese Voraussetzung auf das Verhalten der Funk- 

 tion /(.r) einwirkt. 



Zu diesem Zweck nehmen wir innerhalb G ein beliebiges Teilgebiet G', dessen Rand /' 

 gänzlich im Inneren von G verläuft; di(^ Greensche Funktion des Gebietes G', mit dem Pol 

 in dem Punkt :r, sei g'(^,x), ihre konjugierte Funktion ~h'(i,x). Gemäss der allgemeinen 

 Ungleichung (6j ist dann bei Beachtung der Voraussetzung (7) 



(7)' 



log!/(a;)t<2^/logC(S)d/i'(?,.r), 



eine Ungleichung, die in jedem inneren Punkt des Gebietes G' besteht; die durch das rechts 

 stehende Integral definierte harmonische Funktion bezeichnen wir im Folgenden kurz mit JJ' {x). 



Man lasse jetzt die Kurve T' sich dem Rande r des Gebietes G in der Weise nähern, 

 dass sie schliesslich jedes innere Gebiet von G umfasst. Wir betrachten insbesondere die zwei 

 folgenden Fälle, die dann bei geeigneter Definition der Funktion C(.t) eintreten können: 



1". Es isl in jedem,' inneren Punkt x des Gebietes G 



lim. inf. U'{x) = — oo. 



Aus der Ungleichung (7)' ist unmittelbar zu ersehen, dass unsere Funktion f{x) in diesem 

 Fall identisch verschwinde^i muss. 

 2°. Es ist 



lim. inf. ü'{x) = U (x) y0^)l\/ 



endlich in jedem inneren Punlä des Gchietes G. / * ■*''* 'N 



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