10 F. und R. Nevanlinna. 



Nach (7)' ist dann innerhalb G 



\og\f{x)\<U{x), 



eine Ungleichung, die häufig schärfer ist und über das Verhallen der Funktion f{x) mehr aussagt 

 als die Voraussetzung (7). 



In diesem Abschnitt werden wir uns nur mit diesem letztgenannten Fall beschäftigen; die Sätze 

 über das identische Verschwinden einer analytischen Funktion, zu denen die nähere Erörterung 

 des erstgenannten Falles führt, lassen sich nämlich mittels der Grundbeziehung (2) einfacher 

 beweisen und sollen nebst anderen Sätzen, welche gänzlich ausserhalb der Möglichkeiten der 

 oben skizzierten Methode fallen, im letzten Abschnitt dieser Arbeit behandelt werden. 



5. Wir gehen jetzt zu den Anwendungen der obenbesprochenen allgemeinen Methode 

 über. Um hierbei mit einem in gewissen Hinsichten möglichst einfachen Fall zu beginnen, 

 setzen wir in diesem Artikel voraus, dass der Rand /' des Gebietes G aus n analytischen Kur- 

 venstücken oder geschlossenen analytischen Kurven /"^i', /"'2', . . . , r«"' zusammengesetzt ist, und 

 dass die innerhalb G eindeutige und reguläre Funktion f{x) für jedes positive * in einer hin- 

 reichend Meinen Umgebung jedes inneren Punktes der Kurve /"**' einer Ungleichung 



(8) \f{x)\<C, + s (fc=l,2,...,n) 



genügt, wo Cic eine positive Konstante bezeichnet. Wir fügen noch die Bedingung hinzu, dass 

 j{x) in der Umgebung jedes Punktes, ivo zu ei Kurvenstücke F zusammenstossen, beschränkt blei- 

 ben soll: 



(9) I fix) I < M. 



Dies vorausgesetzt, sei x ein beliebiger Punkt innerhalb G. Man kann dann zuerst um 

 jeden Endpunkt der obengenannten Kurven /"'*' eine kleine Umgebung y derart abgrenzen, 

 dass in den Gebi(!ten y die Ungleichung (9) besteht und die Summe der Schwankungen der 

 Funktion h{'i,.i) innerhalb dieser Umgebungen kleiner als eine vorgegebene beliebig kleine 

 positive Zahl »? ausfällt. Wir betrachten jetzt die Greensche Niveaulinie F/, deren Gleichung 

 fif(ï,a;) = (Î > ist; diese setzt sich für hinreichend kleine Worte ô, ausser von einer Anzahl 

 den Gebieten y angehöriger kleiner Kurvenstücke, aus n Kurvenbogen oder geschlossenen 

 Kurven ff^ (fc= 1, 2, . . ., h) zusammen, die sich für ô-^O den bezüglichen Randkurven r'*' 

 unbeschränkt nähern. Auf den erstgenannten kleinen Kurvenstücken besteht die Ungleichung 

 (9), während in jedem Punkt der Kurve r^'' die Beziehung (8) gilt, sobald ô kleiner als 

 eine hinreichend kleine positive Zahl ()(.•■) ist. Wenn wir also C{x) innerhalb der Gebiete y 



^j*' gleich C^. 



gleich il/ und auf den Kurven rj*' gleich C^. + e setzen, so besteht gemäss (6) für d<ô{f) 



die Ungleichung 



\og\f(x)\<~J]ogC{^)dh{i,x). 



Diese Beziehung behält auch für d-^O ihre Gültigkeit, woraus, da d(i- von den Gebieten y 

 herrührende Teil des Integrals gemäss den obigen Festsetzungen kleiner als Mtj ist, für ^ — 0, 

 £ — sich schliesslich 



Tom. L. 



