über die Eigenschaften analyl. Inmlü. in der lhngeh%ing einer shigid. Stelle oder Linie. li 



n 



(10) \og f{x)\<XlogC,-à,{x) 



1 



ergibt. Hierbei ist 



(10/ A*(a;)= 2^ jrf?i(?,a;), 



und somit 



(11) }^A,{x)=,\ dh(hr)=l. 



• " ; 



Das Gleichhcitszuicbeii iu (10) tritt für einen inneren Punlit x nur bei der Funl<tion 



f{x) = e"'J[c] 



.<^k(^) 



ein, wo a eine beliebige reelle Konstante ist und d/(;/) diejenige (bis auï eine rein imaginäre 

 Konstante eindeutig bestimmte) analytische Funktion bezeichnet, deren reeller Teil mit àt{x) 

 übereinstimmt. 



Dem durch die Ungleichung (10) ausgedrückten Satz kann man im Falle n = 2 eine be- 

 sonders anschauliche Fassung geben. Falls dann z. B. Ci < Ca ist, so eliminieren wir mit Hilfe 

 der Relation (11) die Grösse A2(a;) und erhalten zunächst 



(12) logi/(a;)!<Ai(aj)logg + logC8. 



Wie aus (10)' zu ersehen ist, ist Ai(,t) eine innerhalb G reguläre harmonische Funktion, welche 

 auf dem Bogen r'" den Wert Eins annimmt, während sie in jedem Punkt des Bogens /^<2) 

 verschwindet. Sei nun /l eine positive Zahl <1; die durch 



Ai(a;)=-l 



definierte Niveaulinie zerlegt dann das Gebiet G in zwei an / '" bzw. /'-' grenzende Teilgebiete 

 G'^^ und Gf' und es ist innerhalb G^" 1 > Aj(a;)>A, während innerhalb Gf />Aj(x)>0 



ist. Da nun der Koeffizient von Ai(a;) rechts in (12) negativ ist (Ci < C'a), so folgt aus Obi- 



ii: 



A 



(13) log 'fix)\<X log Ci + (1 - A) log Ca. 



Das Obige fassen wir im folgenden Satz zusammen: 



Sei f{x) eine innerhalb eines von zwei analytischen Kurven oder Kurvenslücken / *'\ /''^* 

 begrenzten Gebietes G eindeutige reguläre Funktion, die für jedes ■posiiive t in einer hinreichend 

 kleinen Umgebung der Punkte des Bogens /""' der Ungleichung 



fix) i < C, + «, 



in der Nähe der T'^) zugehörigeti Randpunkte wiederum der Ungleichung 



\fix) <C,^s 



genügt, während sie in den Umgebmigen der eventuellen Endpunkte dieser Kurvoi beschränkt ist. 

 N:o 5. 



gern, dass diese Ungleichung innerhalb des Gebietes Gl," a fortiori gelten wird, wenn wir Aj(a;) 

 durch / ersetzen; es ist somit innerhalb G'*' 



