12 F. und R. Nevanlinna. 



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A^{x)=4-^ jdhii,j) = /. 



Sei ferner A eine heliebige Zahl des Iniervalls 0</<l und G'j^^ bzw. G\' die von den 

 Kur ren /''^' hzw. I '-' und der Niveaulinie F^ : 



hegreyizlen Teilgebiete von G. 



Falls dann z. B. C^ < Co, so besieht in jedem inneren Punkt des Gebietes G\^ die Ungleichung 



(14) |/(x) <C',Cl-' 



Auf der Niveaulinie A kann die durch diese Ungleichung angegebene obere Grenze 7nöglicherweise 

 erreicht werden; trifft dies alter nur in einem einzigen Pvnkt ein, so riilt das Gleichheitszeichen in, 

 jedem Punkt der Kurve F^ und für jedes 0<A<1. Die Funktion f(x) ist dann bis a.uf einen 

 Faktor e"'- eindeutig bestimmt und gleich 



'WO di{x} diejenige analytische Funktion bezeichnet, deren reeller Teil gleich Ai(,c) ist. 



Dieser Satz, welcher unseres Wissens in der obigen allgemeinen und genauen Fassung 

 nicht früher bekannt ist, *) ist von grosser Anwendbarkeit bei verschiedenen Fragen betreffs 

 des Verhaltens einer analytischen Funktion in der Nähe einer singulären Stelle oder Linie. 

 Wir wollen in dem folgenden Artikel den Inhalt des Satzes etwas eingehender analysieren und 

 einige einfache Anwendungen desselben besprechen. 



6. .Vorerst nehmen wir an, dass das oben mit G bezeichnete Gebiet einfach zusammen- 

 hängend ist. Die Begrenzungskurven r<'\ /'-' haben dann zwei gemeinschaftliche Endpunkte 

 Ii,l2i in denen sie nach Voraussetzung mit einander bestimmte Winkel fc>i bzw. '-K bilden. 

 Die oben mit A bezeichnete Niveaulinie verbindet die Punkte li, ?2, und aus bekannten 

 Eigenschaften harmonischer Funktionen folgt, dass sie im Punkt Sj mit den Kurven r'i', T'^) 

 bzw. die Winl<el (1-A)0i, XC-^, im Punkt i'a die Winkel (l-/)©,, å0^ bildet. 



Um dies durch ein möglichst einfaches Beispiel zu erläutern, betrachten wir den Fall, 

 wo das Gebiet G die oberhalb der reellen Achse liegende Halbebene ist. Sei i"i ein Punkt 

 der reellen Achse und T'", F'-^' die bzw. links und rechts von fj liegenden Teile dieser Achse; 

 der Punkt Ja ist somit unendlich lern. Dann ist, wie man unmittelbar findet, die Niveaulinie 

 F^ ein von ?i ausgehender Halbstrahl, der mit den Halbstrahlen r«" und F'^' Winkel der 

 Grösse (1 — il)w und Asr bildet und das oben mit Gf bezeichnete Teilgebiet ist somit in die- 

 sem Fall das von /'" und A eingeschlossene Winkelgebiet der Grösse (1 — >l)jr. Falls nun 

 f(x) eine in der oberen Halbebene S(x) > reguläre Funktion ist, welche für jedes * > in 

 einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Punktes der Halbgeraden FO) und />-' kleiner als 



1) Die Frage, wie die in unserem obigen Satze vorausgesetzten Bandbedingungen das Verhalten des 

 absoluten Betrages der Funktion im Innern des Bereiches beeinflussen, ist von mehreren Autoren behandelt 

 worden. Vgl. z. B. Lindelöf Sur un principe general de l'Analyse et ses applications à la théorie de la représen- 

 tation conforme (Acta soc. scient. Fennicae. XLVI. N:o 5, 1915). 



Tom. L. 



