über die Eigenschaften anahit. Funld. in der Umgcbunfi einer singul. Stelle oder Linie. 13 



Ci + ( bzw. Co -f t ist, während sir in (l(!r Umgebung des Punktes ?i und des unendlich fernen 

 Punktes beschränkt ist, so besagt unser obiger allgemeiner Satz, dass die Funktion in dem 

 genannten Winkelgebiet der Ungleichung (14) genügt, falls C'i < Ca. 



Dieser sehr spezielle Fall unseres Satzes liefert fast unmittelbar einen bekannten von 

 MoNTEL^) bewiesenen und später von Lindelöf'') erweiterten Satz, wonach eine innerhalb 

 eines Winkels eindeutige und beschränkte Funktion f{x) in jedem inneren Winkelgebiet für 

 Ixl-^oo gleichmässig einem endlichen Grenzwert zustrebt, falls sie längs einem einzigen Halb- 

 strahl sich diesem Grenzwert nähert. Der Beweis dieses Satzes lässt sich mittels einer ele- 

 mentaren Variabel transformation unmittelbar auf den Nachweis folgender Behauptung zurück- 

 führen: Sei fix) eine in der Halbebene v»ù)>0 reguläre Funktion, deren absoluter Betrag 

 daselbst kleiner als Eins ist; falls dann die Funktion auf der negativen reellen Achse stetig 

 ist und längs dieser Achse für Ix-j — oo dem Grenzwert Null zustrebt, so nähert sich die 

 Funktion innerhalb jedes Winkels 



0<ô<(p<,!r 



für a; I -» CO gleichmässig dem Grenzwort Null. 



Sei / eine positive Zahl <- und * eine positive Zahl <1; nach Voraussetzung können 

 wir eine negative Zahl i'i so annehmen, dass auf dem links von i'i'.liegenden Teil /'" der 

 reellen Achse |/(.t) < j- ist. In den Umgebungen der Punkte des rechts von i'i liegenden 

 Teils rt2), ebenso in der Umgebung des Punktes §i und des unendlich fernen Punktes ist 

 wiederum i/(a;)|<l. Nach dem obenbehandelten Spezialfall des allgemeinen S. 12 formulier- 

 ten Satzes ist dann innerhalb des Winkelgebietes /iT'^arg(a; — ?i)^sr 



woraus, da d>Ajr und * von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, die Be- 

 hauptung folgt. 



Indem wir zu unserem allgemeinen Satz zurückgehen, wollen wir jetzt annehmen, dass 

 das Gebiet G zweifach zusammenhängend ist. T'^' und P^> sind dann die geschlossenen Rand- 

 kurven dieses Gebietes und die mit fx bezeichnete Niveaukurve wird eine zwischen diesen 

 Kurven verlaufende geschlossene Linie sein, welche das Gebiet G in zwei ebenfalls zweifach 

 zusammenhängende, ringförmige Teilgebiete G," und Cf' zerlegt. 



Um auch diesen Fall durch ein Beispiel zu beleuchten, wollen wir annehmen, d;iss /""' 

 und ri2) zwei durch die Gleichungen 



Yi'S)=K bzw. YCi) = hi 



definierte Niveaukurven einer harmonischen Funktion y{x) sind. Sei [i(ï,x) die Greensche 

 Funktion dieses Gebietes, —h{'§,x) die konjugierte Funktion; wir wollen die harmonischen 

 Funktionen 



^) P. Montel: Sur les familles des fondions nnalytiques, qui wlincttent des valeurs exceptionelles dans un 

 domain (Ann. Ec. Norm. T. 29, 1912, S. 487—535). 



^) Vgl. die in der Fussnote S. 12 angegebene Arbeit, insb. S. 7. 



N:o 5. 



