14 F. und R. Nevanlinna. 



^Ax) = J~fdhihx) und A2(a;)=.,' [dh(S,x) 



- T ^/ ^ TT ^f 



berecLnon. Zunächst ist nach (11) Aj + A, = 1 ; ferner ergibt die Greensche Formel, falls man 

 sie in G auf die B'unktion /(x) anwendet, 



und man erhalt somit 



(15) ^O'O^I^' ^^(-) = t^- 



Sei nun f(x) eine innerhalb des hier betrachteten Gebietes G eindeutige und reguläre 

 Funktion, welche für jedes «>0 in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Punktes der 

 Kandkurven 7'"^ und T'^) absolut genommen kleiner ist als d + * bzw. Cj + f. Aus unserem 

 Satz, oder noch direkter aus der fundamentalen Ungleichung (10), folgt dann bei Beachtung 

 von (15), dass die Funktion f{x) innerhalb des Gebietes G der Ungleichung 



genügt. 



Falls insbesondere die Niveaukurven / ^" und F^) die zwei konzentrischen Kreise |a;| = ri 

 und \x\ = r2 sind, so hat man )'(;<;) = log r , /ii = logr, , /î2=logr2, und die obige Ungleichung 

 geht über in 



log ^ : log -■ log il : log '^ 



\f{x)\^C, = =a ■ ■; 

 wir erhalten somit den IfADAMARDschen Dreikreissatz. 



7. Setzt man in dem in Artikel 5 bewiesenen Satz C'i = C'a, so spricht er dass Prinzip 

 über den Maximalmodul aus: 



Sei f{x) eine innerhalb eines ein- oder mehrfach zusammenhängenden Gebietes cindculi<ie 



reguläre Funktion, tvelche für jedes positive « in einer hinreichend Meinen Umgebung jedes Rand- 



pimktes der Ungleichung 



fix) <C+6 



genügt. Dann ist in jedem inneren Funkt des Gebietes 



\f(x)\<C, 



ivobei das Gleichheitszeichen in einrnn inneren Punkte nur dann e^intrifft, wenn f{x) eine Kon- 

 stante vom absoluten Betrag ü ist. 



Das Modulprinzip, dem gewöhnlich die obige Fassung gegeben wird, lässt sich bekannt- 

 lich in verschiedenen Richtungen erweitern: man kann näinlich schon unter weniger einschrän- 

 kenden Randbedingungen, als die oben gemachten, auf die Beschränktheit der Funktion 



Tom, L. 



