über dir Ei ijniséwfini anahil. FvM. in der {'mßrbung einer sivfiul. Sicllr oder Unie. 15 



schliessen. Erweiterungen dieser Art sind insbesondere von Phragmkn und LindelöfI) gegeben: 

 einige von ihnen bewiesene diesbezügliche Sätze sind bekanntlich von grösster Bedeutung bei 

 verschiedenen Untersuchungen betreffs des Verhaltens einer analytischen Funktion in der Um- 

 gebung einer singulären Stelle gewesen. Unsere Methode erlaubt uns nun ein allgemeines Kri- 

 terium für die Beschränktheit einer analytischen Funktion anzugeben, welches die Phragmén- 

 LiNDELÖPSche Sätze enthält und wesentlich verschärft. 



Es wird im Nachstehenden nützlich sein folgende Bezeichnung einzuführen: Sei A(l) eine 



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reelle Funktion der reellen Variable (; Mir bezeichnen dann mit A(t) diejenige Funktion, 

 welche gleich A{t) oder Null ist, je nachdem A{t) positiv oder nicht positiv ist. Die nicht 



positive Differenz ^(0 — ^(0 bezeichnen wir mit A{l), so dass folglich A{l) = AU) + A(l). 

 Das oben in Aussicht gestellte allgemeine Kriterium lässt sich dann folgendermassen aus- 

 sprechen: 



Sei f (x) eine innerhalb des ein- oder mehrfach svsammenhängenden Gebietes G eindevlige 

 und reguläre Funktion. Ferner existiere für jedes vorgegebene positive « eine posilire Funktion 

 Ch{x) mit folgenden Eigenschaften: 



1". Innerhalb des Gebietes G ist 



\f(x)\<Cdx). 



2". Es existiert innerhalb G wenigstens ein Punkt Xq derart, dass 



lim. inf. flog C,(S)dh'CS,xo) < f , 



100 T' ein variabler innerhalb G verlaufender Inlegralionsweg ist, welcher seläiessUrJi, jedes innere 

 Gebiet in G umfassl. 



Unter diesen Bedingungen ist für jedes x innerhalb G 



|/(.T)|<1. 



Wir fixieren innerhalb G einen beliebigen Punkt x und eine Kurve /"o, welche die Punkte 

 X und x„ umfasst. Ferner sei « eine beliebige positive Zahl und C'.(.r) eine Funktion, welche 

 den Bedingungen des Satzes genügt. Schliesslich nehmen wir innerhalb G die Kurvi^ l' derart 

 an, (lass sie die Kurve l\ gänzlich im Inneren enthält und dass 



(16) j^jlo'ga(i-)tZ/('(i-,,ro)<^ 



r 



was voraussetzungsgemäss möglich ist. 



Nach diesen Festsetzungen ergibt die Grundungloichung (6) S. 8, bei Beachtung der ersten 

 Voraussetzung, 



log|/WI<2^Jloga($)d/^'(,^,T) 

 r' 



^) E. Phra(1MÉN und E. LlNDELÖl'': Sur une extension d'un principe clasnique de l'anal jfxe et sur quelques 

 proprie'les des fondions monogènes dans le voisinage d'un point singulier (Acta math. Bd. 31, 1908, S. 381 — 406). 



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