16 F. und R. Nevanlinna. 



und somit ,i, fortiori 



(17) \og\f{x)\<U,ix), 

 wenn 



(18) . r7,(,r) = ^^jlo'ga(?)r//i'(ï,x) 



r' 



gesetzt wird. U,(x) ist gemäss dieser Definition innerhalb r' und somit innerhalb und 

 auf dem Rande des von r„ umgrenzten Gebietes Go harmonisch und Glicht ncoativ. Wenn wir 

 mit gfo die Gi'eensche Funktion des Gebietes Gq bezeichnen, so könm-n wir also die Grecnschc 

 Formel anwenden, wonach 



U.i.)^,\Jü.i^)'^^^ds 



ts. 



- • an 



Sni nun M (.i) das Maximum des Verhältnisses 



on ' an 



für alle Ï auf /',,. Da V Si) nicht negativ ist, so folgt aus der obigen Darstellung 



vas^)<^Iv-m'^I^ = ^'»^w ^^^^(-^-o), 



und somit infolge (18) und (16) ll^{x)<,M{x)i. Demnach ist gemäss (17) log|/(a-)|< -M(a;)«, 

 und somit, da i von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, während M{x) gemäss 

 seiner Definition von i unabhängig ist, log|/(a;)| <0, oder |/(a;)|<l. Da';r ein ganz belie- 

 biger Punkt innerhalb G war, ist unser Kriterium hiermit bewiesen ^). 



8. Sei i{x) eine Funktion, die in den Umgebungen der Randpunkte beschränkt ist, eine 

 endliche oder unendliche Punktmenge möglicherweise ausgenommen. Falls man ausserdem 

 weiss, dass die Funktion in der Nähe der Ausnahmepunkte nicht allzu stark ins Unendliche 

 wächst, so lässt sich in vielen Fällen mit Hilfe des oben bewiesenen allgemeinen Prinzips zei- 

 gen, dass die Funktion i(x) in der Tat überall beschränkt ist. Im Folgenden wollen wir den 



1) In ihrer obenzitierten Arbeit leiten Phragmén und Lindei.öf die von ihnen gegebenen speziellen 

 Sätze aus folgendem allgemeinen Prinzip ab: 



Die Funktion f{x) genüge der Ungleichung j /"(.r) 1 < 1 4- f für jedes t > in einer hinreichend klei- 

 nen Umgebung jedes Randpunktes, mit Ausnahme einer Punktmenge E. In der Niihe der Ausnahmepunkte 

 sei für jedes u > 



|eB''(a;)/'(x)|<l +e, 



wo raCa") eine innerhalb G reguläre und von Null verschiedene analytische Funktion ist, deren absoluter 

 Betrag nicht grösser als Eins ist. Unter diesen Bedingungen ist in jedem Punkt von Cr 



1 Aa:) i ^ 1. 

 Wie leicht gezeigt werden kann, ist dieses Kriterium in unserem obigen allgemeinen Prinzip enthalten. 



Tom. L. 



