liber die Eigenschaften anahjt. Funkt, in der IJraçiebung einer singul. Stelle oder TAnie. 17 



einfachsten hierher gehörigen Fall behandeln, wo dii; erwj'ihnto Ausnahmemenge einen einzi- 

 gen Randpunkt enthält. Wir werden folgvndcn Satz beweisen: 



Sei /(.(■) eine in jedem endlichen Punkt der Ilalbebene ^)î(j:)>0 reguläre Funktion, welche 

 für jedes positive « in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes endlicheii Tiandpunkles der Un- 

 gleichung \f{x) <l+e genügt. 



Dann trifft einer der folgenden Fälle ein: 



1". Entiredrr ist in jedem inneren Punkt der Halbebene 



l/(.')l<i; 



2". Oder es wächst die Funktion in der Umgebung des unendlieh fernen Randpunkies ins 

 Unendliche wnd zwar so, dass eine positive Konstante tj vorhanden ist derart, dass die Ungleichung 



+ "■ 



I log I f{re'''') I cos (fdtf^^r 



""2 



von einem gewissen Wert r ab besteht. 



Man könnte diesen Satz in formellem Anschluss an das obenerwähnte allgemeine Prinzip 

 beweisen. Indessen gestaltet sich die Herleitung dieses Prinzips unter den vorliegenden Um- 

 ständen so einfach, dass wir es vorziehen den Beweis des obigen Satzes direkt zu führen, und 

 zwar um so lieber als wir einige im Laufe des Beweises -auftretende Ungleichungen später 

 noch benutzen werden. 



Sei Q eine positive Zahl und d > so klein, dass in einer Umgebung vom Radius d eines 

 jeden Punktes auf dem Segment \.r.\<Q der imaginären Achse die Ungleichung |/(a;)|<l + « 

 besteht, wo « eine vorgegebene beliebig kleine Zahl bezeichnet. Wendet man dann die 

 Grundungleichung (6) S. 8 in dem Kreissegment |x|<e, ))i{x)>å an, wobei auf dem gerad- 

 linigen Teil der Begrenzung log|/(ï)| durch log(l + «) majoriert werden kann, und lässt 

 man hierauf zuerst d, dann * gegen Null streben, so erhält man für jedes x innerhalb des 

 Halbkreises |a;|<o, )n{x)y.O die Ungleichung 



TT 



(19) log\f{x)\£U,{x)^^j log\f{Qe^^)\dh,{Qe^^,x). 



Hierbei bezeichnet —hg(^,x) die zu der Greenschen Funktion des obigen Halbkreises konjugierte 

 Funktion. Zur Berechnung der harmonischen Funktion U^ bemerke man, dass sie in den 

 Punkten des Halbkreises a;-çe*^,|^|<| die Werte log|/((ie*^)| annimmt, während sie 

 auf der imaginären Achse verschwindet. Gemäss dem Spiegelungsprinzip existiert sie hiernach 

 in dem ganzen Kreis \x\<,q und nimmt in den Punkten des komplementären Halbkreises 

 a;=pe^^, " <^<\^ die Werte -log|/(çe*(^''-*^)| an. Demnach sind die Werte der Funk- 

 tion Uç{x) auf der ganzen Kreisperipherie |*| = e bekannt und wir können sie innerhalb dieses 

 Kreises mittels ihrer Randwerte durch das PoissoNsche Integral darstellen. Eine einfache 

 Rechnung ergibt: 



N:o 5. 3 



