18 F. und R. Nevanltnna. 



/^^x TT , ■,„\ 1 11 \i/ ;ft\ I 2 II r(ir — r''-) cos CD cos & , j. 



Hieraus folgt ferner 



+ 2 



[7p (re'V-) = ^JL^ (i + ^ (ç)) ^ ^" log | / (pr'"») | cos i/cl» + 



TT 



(20)' "' 



2_,;£os^ (1 + t (o)) ^ r log I / (« e'''') I cos y rf^, 



;t 

 ~"2 



WO wir mit f(ç) allgemein jede, nicht immer dieselbe Grösse bezeichnen, die für o-^oo ver- 

 schwindet. 



Falls nun 



+ r • 



■ 2 



im inf. \ f log | / (q c''^) \ cos d-d&^O, 



SO folgt aus Obigem dass a fortiori lim inf. Uq{x)<0 ist, und es muss somit gemäss der ün- 



gleichuug (19). log|/(x)|<0, d.h. 



l/(rr)|<l 



sein. Hiermit ist unser Satz bewiesen. 



Das obenbewiesene Resultat enthält eine Verschärfung des bekannten Satzes von Phragmén 



und LiNDELÖF, nach welchem eine innerhalb der Halbebene ^){(a')>0 nicht beschränkte 



Funktion von den im obigen Satze vorausgesetzten Eigenschaften für eine ins Unendliche 



wachsende Wertfolge r = r„ (n =-=1,2,...) einer Ungleichung 



maxlog|/(a;)| >»;?• 



genügen muss. ^) Ersetzen wir in unserer Bedingung 2" cos^- mit Eins und log | / (r e'"'") | mit 

 seinem Maximum auf dem Halbkreis | a- 1 = r, 9î (.t) > 0, so folgt aus unserem Satze, dass die 

 obige Ungleichung nicht nur für eine unendliche Wertfnlge, sondern sogar für jedes hinreichend 

 grosse r bestehen muss: ein Ergebnis, das von Phragmén und Lindelöf vermutet wurde.-) 

 Dass die in unserem Satze gefundene untere Grenze nicht erhöht werden kann, zeigt die 

 Exponentialfunktion e-^', wo diese Grenze (const. r) erreicht wird. 



9. Aus den Überlegungen des vorigen Artikels kann man einige weitergehende Schlüsse 



über das Verhalten einer analytischen Funktion in der Umgebung eines singulären Punktes ziehen. 



Sei f{x), wie oben, eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene 9{(a;)>0 reguläre 



M loc. cit. p. 389. 

 ^) loc. cit. p. 390. 



Tom. L. 



