über die Enjenschafle» aiialjit. Finil:!. in der Uniiiehniig einer sinyiil. Stelle oder Linie. 19 



analytische Funktion, die iür jedes *>() in der Umgebung jedes endlichen Punktes der ima- 

 ginären Achse der Ungleichung |/(,r)|<l + « genügt. Nimmt m;iu nun an, dass 



+ 2 



(21) lim inf. '. I log | / {rc'''') \ cos (fd(f<x, 



,• » CO •' 



TT 



WO y. eine niclitnegative Konstante ist, so folgt aus der Ungleichung (19) bei Beachtung von 

 (20)' unmittelbar, dass f{.r) in jedem inneren Punkt der Halbebene der Ungleichung 



2 H f fos 7> 



genügt. Also: 



Falls f{x) für !)f(.T)>0 regulär isl und für jedes positive s in den Umgebungen der Pu}iJ{te 



der imaginären Achse 



l/(x)|<l + *; 

 ivenn ferner 



+ : 



1 r + 

 lim inf. . ! \og\f {re"^')\ cos cp dep 



<y.. 



so genügt /(j) für jedes x = re"'' der Halbebenc 3x(:7:)>0 der Ungleichung 



,„„. 2 ü rcos i/i 



Für x = ù geht dieser Satz in den Satz der vorigen Nummer über. Die Ungleichung 



(22) ist genau, denn die angegebene obere Grenze wird bei der Funktion e '^ erreicht. 



Nimmt man statt (21) an, dass die Funktion f{.i:) in der ganzen Halbebene ai'(jO>0 

 beschränkt ist: |/(.r)i<l, so fehlt das erste Glied in dem Ausdruck (20)' der Funktion U/, 

 und wir gelangen auf Grund der Ungleichung (19) zu folgendem Resultat: 



We7in f{x) innerhalb der Halbebene ;K(j;)>0 regulär und beschränkt ist: 



l/(«OI<i, 



und ferner , 



ff « 



+ 2 



lim inf. . I log |/(*t"'')]cos f/ rfy < — x<0, 



~ 2 



so isl für jedes x = rey innerhalb der Halbebene 



2 X y cos tfi 



\f{x)\£e"''^~'. 



2x.r 



Die obere Grunze wird hier wieder von der Exponentialfunktion e ' erreicht. F'ür 

 x= + co lehrt der Satz, dass die Funktion f{x) unter den obigen Bedingungen identisch 

 verschwinden muss, ein Ergebnis, dum wir im letzten Abschnitt dieser Arbeit in verallge- 

 meinerter Form begegnen werden. 



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