20 F. und R. Nevanlinna. 



Als Korollar des letztbewiesenen Satzes ergibt sich eine von Julia') gegebene Erweiterung 

 des ScHWARzschen Lemmas. Der JuLiAsche Satz kann in folgender Weise ausgesprochen 

 werden: ^) 



Sei tf (x) eine Funktion, die für 5R(a-)>0 regulär ist und der Bedingumj 



(23) 9i(y(a;))^0 



genügt. Ferner sei in der Umgebung des unendlich fernen Punktes 



(24) (p{x)=cx(l + s{x)) 



derart, dass * (a) in jedem inneren Winkelgebiet für \x\-^ oo gleiclimässig gegen Null strebt. 

 Unter diesen Bedingungen besteht für jedes positive X die Ungleichung 



'3ii<fix))>cX 



in jedem Funkt der Halbebene M(.v)> À. 



Setzt man e- ''''-'''> = f{x), so ist nach (23) 



(25) |/(x)|<l 



in der Halbebene 'J{(j:)>0. Ferner ist, da also log|/|<0, für jedes d>0 auf Grund der 

 asymptotischen Gleichung (24) 



^ I logl/(re"'')| C0S(/ c/^ < ^ I log|/(re'''')| cos «frfy <- — c(l — j?(/-)) I GOS^(fd(f, 



wo »/(*•) = max I* (re"'')! für | (/^ | •=-." — d. Voraussetzungsgemäss ist ti(r)~ù für r — oo und 

 demnach 



2 2-/ 



lim inf. 1 log | / (re"'') | cos </• d<f> <^c j cos^ (fdif, 

 oder, da ô von vornherein beliebig klein angenommen werden kann, 



TT »TT 



2 2 



(2G) lim inf. 1 logi /(rc"P) | cos ^dyi < — c I cos- <; (/y = — ^/^. 



ï- — + OD •/ •' "" 



-T n- 



~ 2 "2 



Aus (25) und (26) folgt nun auf Grund des letztbewiesenen Satzes, dass für Jedes x = r&i' der 

 Halbebene 3i(x)>0 die Ungleichung 



1) G. Julia: Extension nouvelle (Vun lemme de Schwarz (Acta math. Bd. 42, 1920, S. 349—365). 



^) Der Satz wurde von .Julia unter unnötig einschränkenden Voraussetzungen bewiesen; in der hier 

 angegebenen erweiterten Form hat ihn später der eine von uns mit Hilfe des PHRAOMBN-LiNDELÖFschen 

 Satzes nachgewiesen: Vgl. E. Nevanlinna: Asymptotische Entwicklungen beschränkter Funktionen und das Stielt- 

 essche Momentenyrohlem (Annales Acad Scient. Fennicae, Serie A. T. XVIII, N:o 5, 1922, insb. S. 14). 



Tom. L. 



