über die Eigenschaften analyl. Funkl. in der Vmcfrhnnq riiwr sivuul. Sirllc oder himc 21 



— log I / {x) I = 3{ (y (r) )>cr cos </ 

 besteht, woraus die Beliauptuiiji' des JuLiASchen Satzesi_sicli unmittelbar ergibt. 



Ui. Wir knüpfen an den in Artikrl S bewiesenen Salz an, und wi^rden im Folgenden eine 

 wichtige Verallgemeinerung desselben geben. 



Nehmen wir an, dass die in der Halbi'bene 'K(a;)>0 reguläre Funktion /(./•), statt in der 

 Nähe der imaginären Achse beschränkt zu sein, in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes 

 endlichen Punktes x = it dieser Achse für jedes vorgegebene * : der Ungleichung 



log|/(x)|<4(«) + s 



genügt, wo A{i) eine für alle reelle Werte t definierte stetige Funktion ist. Die Grundunglfi- 

 chung (6) liefert dann, nach einem dem auf S. 17 durchgeführten ähnlichen Grenzübergang, die 

 für |,r|<p, 9i(a;)>0 gültige Beziehung 



(27) 

 wo jetzt 



(28) 



log \f{x)\<W, (x) ~ U, (X) + V, (x) , 



» = + :, 



l = -Q 



Ih i^) = lÄ/ log I /(pe*^) I dKiQé^^, X), V,{x) = ,^ J A{t)d\{it,x). 



•» = - 



t^ + Q 



Für die Funktion Vq^x) haben wir schon den Ausdruck (2ü). Um Vq{x) zu berechnen, 

 bemerke man, dass sie auf dem Segment |a;| = |it|<? die Werte ^(0 annimmt, während 

 sie auf dem Halbkreis |a;| = p, !;}{(a;) > verschwindet. Folglich existiert sie in der ganzen 

 Halbebene ÏH(x)>0 und nimmt in den Randpunkten .r=à,|{|>y die Werte —aI'^A an. 

 Mittels der Greenschen Formel für die Halbebene 9J(a;);?;0 



V^{re' 





VAii)r. 



r cos (p 



t- + ?•- — - <r sin (f 



dl 



erhält man demnach, wenn man die oben ermittelten Randwerte Vç{ii) einführt, für Vq den 

 Ausdruck 



(29) 



F,(>-e'>) = -' \ A{t)j-r^f^- di-^1 A(i) ,, ,. '•""^'^ di. 



'^ ' IC J ^- ' <- + r' - 2irsin o: n J ^ ' tr\- 



— Q "C \ I + ('' — 2 fr sin (p 



Man lasse jetzt in (27) q über alle Grenzen wachsen. Falls das Integral 



CO 



(30) Ji ^a.i-f^|A(-f)i ^^ 



konvergiert, so strebt hierbei das erste Glied in (29) gegen das Integral 



,,*.^/i/^. 



A{l),T, T— o7 du, 



ît J ^ ' t- + r- — 2 tr am (p ^ ' 



Während das zweite Ghed verschwindet. Um letzteres einzusehen, bemerke uuul dass für |ii< ç 



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