22 F. und R. N e v a n l i n n a. 



('^' J + Q^--2l, sin q. > (y ~ /■ ^ y > (o - rf : 



der absolute Betrag des letzten Integrals in (29) ist demnach kleiner als 



4 c 



1 rcoS(p r |^(t)| , 



Zerlegt man hier das Integrationsintervall in drei Segmente: (— (», — Co)' (— (/o^ + Po) und 

 (Qo^q), so kann man wegen der vorausgesetzten Konvergenz des Integrals (30), q„ so gross 

 annehmen, dass die den beiden äusseren Segmenten entsprechenden Teile des obigen Integrals 

 für sämtliche ? > Po beliebig klein .ausfallen, woraus, da der mittlere Teil des Integrals für 

 Q^oo verschwindet, die Richtigkeit der Behauptung hervorgeht. 



Nehmen wir nun noch hinsichtlich des Verhaltens der Funktion f{x) im Inneren der 

 Halbebene 9i(a:) > an, dass die Bedingung 



1 r + 

 lim inf. . | log f {re"'') comfdif = 



erfüllt ist, so ist, wie S. Ib gezeigt wurde, auch 



und somit schliesslich, gemäss (27) und (28), 



lim inf. Uç< O 



^ CO 



lim inf W(re''") < ' { A (f) ,,-^ ,'"°"'^ . dl. 



Q ^ CO 



In Verbindung mit der Beziehung (27) ergibt diese Ungleichung folgendes Resultat: 



Hei f{x) eine in jedem endlichen Punkt der Halbebene ^J{(a;)>0 reguläre Funktion und 

 A(l) eine für alle reelle Werte t definierte sleliye Funktion ton der Ärt, dass das Integral 



Ï 



A(i)\ + \Ä(-i)\ ^^ 



konvergent ist. 



Falls dann f{x) für jedes f >U in einer hinreichend kleinen Umgebung jedes Punktes x=it 

 der imaginären Achse der Bedin^gung 



lijg\f{x)\<Ä{t) + s 



genügt, so ist entweder für jedes x = re'''' innerhalb der Halbebene 



iogi/(.)i<l7^(o,.^¥,f^rf 



oder aber es existiert eine positive Zahl t) derart, dass von einem gewissen Wert r an die Un- 

 gleichung 



Tom. L. 



