fJher (lie Eigenschaften analyl. Funkt, iv der l'mgebung einer singul. Sielle oder TAnie. 23 





I- 

 \og \f{re'''') I cos (f d(( > tjr 



besteht. ^ 



Der S. 17 formulierte PiinAnMEN-LiNnELüFsolie Satz ist im Obigen als spezieller Fall 

 (A(l)-~0) enthalten. Der obenbewiesene allgemeinere Satz eignet sich insbesondere zur Unter- 

 suchung des asymptotischen Verhaltens einer analytischen Funktion von endlicher Wachstums- 

 ordnung; wie der eine von uns an anderer Stelle') gezeigt hat, folgen aus ihm u. A. einige 

 diesbezügliche Ergebnisse von PiiiiAdMKN und Lindelöf. 



11. Wir kehren wieder zu den allgemoinen Voraussetzungen von Artikel 7 zurück: /(.r) 

 sei also eine innerhalb eines ein- oder mehrfach zusammenhängenden Gebiett'S G eindeutige 

 reguläre Funktion. Nimmt man C{.r) = | /(.r)|, so schliessen wir aus dem allgemeinen S. 15 

 formulierten Kritei'ium, dass, falls nicht |/(.')i<l innerhalb G, der Ausdruck 



(31) iiminr. iog|/|r//i' 



in jedem inneren Punkt x des Gebietes G positiv (endlich oder unendlich) sein muss. Im Fol- 

 genden werden wir das Integral in (31) einer näheren Untersuchung unterwerfen und einige 

 genauere Ergebnisse betreffs seines Verhaltens für /' — r ableiten. 



Wir betrachten eine Folge ganz innerhalb (t gelegener Gebiete G,, G,, . . ., G„, • . . von der 

 Art, dass G„ für jedes n ein Teilgebiet von G„ + i ist und für ri — co schliesslich jedes innere 

 Gebiet G' von G enthält. Sei /'„ der Rand von G„ und —h„{'i,.r) die zu seiner Greenschen 

 Funktion konjugierte harmonische Funktion. Dies vorausgesetzt behaupten wir. dass 



(32) U„ix) ^lj log \fi£)\dh., (h. r) 



in jedem inneren Punkt x des Gebietes G mit wachsendem n monoton wächst. 



Zum Beweise bemerken wir zunächst, dass f^,(.r) eine innerhalb G„ harmonische, nicht 



+ 

 negative Funktion ist, die in jedem Punkt ? der Berandung r„ den Wert log|/(ï)| annimmt. 



Nach der Grundungleichung (6) ist in jedem Punkte des Gebietes G^, 



(33) log\f{x)\<U,{x), 



und also, da I-^p{x) nichtnegativ ist, auch \og\f{.r)\<U,,{x). Ist nun n<p, so besteht diese 



letzte Ungleichung insbesondere auf dem Rande r„ des Gebietes G„, während in jedem Punkt 



+ 

 dieser Kurve log|/(a;)| = U„{x) ist. Es ist somit für 2J>n 



(34) Upix)-U„{x)>0 



') Vgl. R. Nevanltnna: Über die Amvendung des Poissonsrhen Integrals zur Untersuchung der Singularitäten 

 analytischer Funktionen. (Verhandlungen des 5. Skandinavischen Mathematikerkongresses in Helsingfors 1922). 



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