24 F. und R. Nevanlinna. 



in jedem Punkt von /„. Weil nun der Ausdruclv links innerhalb G„ harmonisch ist, so folgt, 

 dass die Beziehung (34) auch im Innern von G„ bestehen muss, womit unsere Behauptung 

 bewiesen ist. 



Wir nehmen jetzt an, dass die Werte U„{x) in einem gewissen Punkt x = Xo des Gebietes 

 G für sämtliche n unter einer festen endlichen Schranke liegen; die Werte U„(xo) konvergieren 

 dann für n — oo gegen einen endlichen Grenzwert. Hieraus schliesst man auf Grund des 

 HABNACKSchen Prinzips weiter, dass 



lim U„{x) = U(x) 



in jedem inneren Punkt von G existiert, und zwar gleichmässig in jedem inneren Gebiete von G. 

 U{x) ist also eine iimerhalb G harmonische und nichtnegative Funktion, die nach (33) in jedem 

 inneren Punkt der Ungleicliung 



(35) log |/(a;)|< 17(0;) 

 genügt. 



Sei nun V{x) die konjugierte Funktion von U{x). Dann ist 



(36) tp{x) = e-'^'-''' 



eine innerhalb G reguläre analytische Funktion, die daselbst von Null verschieden ist und, da 

 U nichtnegativ ist, der Bedingung \ij'(x)\<l genügt. Setzt man weiter 



(37) ,f{x)=f{x)il'{x), 



so ist gemäss (35) log | (/ | -= log|/| — C7^0 und also auch |(jp(.c)|<l. Unsere Funktion fix) 

 kann also als Quotient von zwei innerhalb G regulären und beschränkten Funktionen (f und tp 

 dargestellt werden. 



Die oben erhaltenen Ergebnisse fassen wir in folgendem Satze zusammen: 

 Sei f{x) eine anali/lische Funktion, die innerhalb eines einfach oder mehrfach zusammcn- 

 hänqenden Gehißtes G eindeutig und regulär ist. Sei ferner Gi.Gi, ■ ■ .,G„, . . . eine Folge von 

 Gebieten, die sämtlich ganz innerhalb G liegen und von denen G„, für jedes n, als Teilgebiet in 

 G„ + i enthalten ist. Die Bandkurve r„ von G„ nähere sich für n-^oo unbeschränkt der Berandung 

 r von G in der Weise, dass sie schliesslich jedes innere Gebiet von G umfasst. Sei noch —h„{'i,x) 

 die SU der Greenschen Funktion des Gebietes G„ konjugierte harmonische Funktion. 

 Unter diesen Bedingungen ist das Integral 



(38) 2^/log|/(l)|d;i,.(i-,-'iO 



'v„ 



für jeden festen inneren Punkt x eine niemals abnehmende Funktion von n . Bleibt es in einem 

 einsigen inneren Punkt für n-^oo beschränkt, so konvergiert es in jedem inneren Punkt gegen 

 einen endlichen Grenzwert U{x), iind zwar gleichmässig in jedem inneren Gebiet von G. Die 

 Funktion f(x) lä.sst sich dann als Quotient von zwei, durch die Formeln (3G) und {37) bestimmten, 

 beschränkten Fimktionen q(x) und U'{x) darstellen. 



Sind umgekehrt (f(.i) und Ui{x) zwei beliebige, innerhalb G eindeutige und reguläre ana- 



Tom. L. 



