Üier die Eigenschaften analijt. Funkt, in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 25 



lytische Funktionen, deren absolute Beträge daselbst nicht grösser als Eins sind, so ist die in 

 dem obigen Satze angegebene Bedingung (Beschränktheit des Integrals (38)) für die Funktion 



in jedem inneren Punkt von (,V erfüllt. In dcv Tat ist, da \(f{x)\<l, 



log \f(x)\< log ; — ^. — 1 1 

 und, da der Ausdruck rechts nichtnegativ ist, auch 



(^^) log 1/(^)1 <'og|'^!s)| • 



Anderseits ist nach der Grundungleichung (6), sobald die Kurve /'„ den Punkt x umfasst, 



woraus in Verbindung mit (39) foigt 



gi^ J log I </' (Ï) I dh,. (? , X) > log I v (x) I , 



~ j \og\fCi)\dh„{hx)<\og 



\tia:)\ 



Der Ausdruck (38) liegt hiernach unter einer von n unabhängigen Schranke, w. z. b. w. Wir 

 sehen also: 



Notwendig und hinreichend, damit eine inyierhalb G reguläre Funktion als Quotient von zwei 

 beschränkten Funktionen dargestellt werden kann, ist, dass der Aiisdruck (38) in einem inneren 

 Funkt X für jedes n unter einer von n imahhängigen Schranke liegt. 



Ist die oben ausgesprochene Bedingung erfüllt, so existieren offenbar unendlich viele 

 Funktionen (p{x) und 4>(x), die innerhalb G regulär und den absoluten Beträgen nach nicht 

 grösser als Eins sind, und deren Quotient gleich f{x) ist. Unter diesen unendlich vielen Dar- 

 stellungen der letztgenannten Funktion nimmt die Darstellung (37), wo ifi(x) durch die For- 

 mel (36) definiert ist, eine Sonderstellung ein: unter allen möglichen F^mktionen (f und ip sind 

 diese diejenigen, deren absolute Beträge möglichst gross sind. Seien in der Tat ([i{x) und '/'i(''') 

 zwei beliebige beschränkte Funktionen von der betrachteten Art. Dann ist nach (39) zunächst 

 in jedem inneren Punkt von G 



log|/(x)l<log— J^. 



+ 

 Auf der Kurve r„ , wo log | / 1 = U„ , ist hiernach 



(40) [7„(a-) + log|«/'i(a;)|<0. 



Hier ist der Ausdruck links eine innerhalb G„, mit Ausnahme einer Anzahl negativer logarith- 

 mischer Pole (in den eventuellen Nullstellen von (l'i{x)), reguläre harmonische Funktion, und 

 wir schliessen demnach, dass die Beziehung (40) auch innerhalb G„ bestehen muss. Nun ist 

 U„{x)-'U{x) für Ti— .CO, und nach (40) also auch 



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