26 F. und R. Nevanlinna. 



(41) ?7(a;) + Iog|(/',(:c)|<0 



innerhalb des ganzen Gebietes G. Gemäss (36) ist aber C/ = — log i/'|, und es folgt also aus 

 (41), dass I (// (o;) ! > I (/'i (ce) ] in jedem Punkt von G sein muss. Aus der Identität 



ergibt sich hieraus weiter dass auch (f (x)\>\(f-i{x)\ ist. w. z. b. w. 



12. In dem besonderen Fall, wo G ein Kreis ist, führt der nilgemeine Satz auf S. 25 zu 

 folgendem Kriterium: 



Notwendig und hinreichend, damit eine innerhalb den Einheitskreises | .c | < 1 eindeutige und 

 reguläre analytische Funktion f{x) sich als Quotient von su-ei beschränkten Funktionen darstellen 

 lässt, ist, dass das Integral 



2- 



(42) ■ U,.= r,\^Jiogifire''")ulif. 







für r < 1 beschränkt ist. 



Mittels dieses Satzes können einige bekannte Sätze über beschränkte Funktionen zu der 

 allgemeineren Funktionenklasse erweitert werden, für welche das Integral (42) beschränkt ist. 

 Wir wollen dies an einigen Beispielen erläutern. 



Fatou") hat bekanntlich gezeigt, dass eine innerhalb des Einheitskreises beschränkte 

 Funktion bei radialer Annäherung an den Rand fast überall, d. h. in jedem Randpunkt mit 

 Ausnahme einer Punktmenge vom Masse Null, gegen einen bestimmten Grenzwert konvergiert. 

 Dieser Satz wurde von F. und M. Riesz^) dahin verallgemeinert, dass die Randwerte fast 

 überall existieren, wenn das Integral 



2- 



(43) j\fire"f)\d(f 



Ô 



für r<l beschränkt bleibt. Sie beweisen ferner die von Fatou ausgesprochene Vermutung, 

 dass die Menge derjenigen Randpunkte, in denrn die Randwerte gleich einer gegebenen Zahl a 

 sind, eine Nullmenge ist. 



Unser obiger Satz führt nun zu einer nochmaligen Erweiterung des FATouschen Satzes. 

 Ist nämlich die Funktion U,- für ;■ < 1 beschränkt, so kann die betrachtete Funktion f(x) als 

 Quotient von zwei beschränkten Funktionen (f{x) und »/'(,r) dargestellt werden. Die Funktion 

 f{x) hat also sicher wohlbestimmte Randwerte in jedem Rand punkt, wo beide Funktionen if 

 und (/' bestimmte Grenzwerte besitzen, die nicht beide gleich Null sind. Das Mass der Kom- 

 plementärmenge der letztgenannten Randpunkte ist aber gemäss der eben genannten Sätze 

 von Fatoü und F. u. M. Riesz gleich Null, und wir sehen also, dass jede Funktion, für welche 



^) P. Fatou: Séries trigonomélriqiies et séries de Taylor (Acta matheinatica, T. 30, 1906, S. 335 — 400). 

 ") F. und M. RiESZ: Über die Randwerte einer analytischen Funktion (Quatrième congrès des Math. Scan- 

 dinaves à Stockholm 1916, S. 27—14). 



Tom. L. 



