über die Eigensehafien ouahil. Fiiiikl. in. der l'nifiehimg einer sinqul. Slelle oder Linie. 27 



das Integral U,- für r < 1 heschränkl ist. bei radialer Annnliernng an den Rand fast überall 

 bestimmte Randwerte besilsl. 



Das so erhaltene Kriterium entiiält d;is von Riesz gegebene als speziellen Fall. In der 

 Tal ist U,- offenbar beschränkt, sobald das Integral (43) oder allgemeiner sogar 



2ff 



j •fire'-^)fd(f. 



wo Ô eine beliebig kleine positive Zahl bezeichnet, für r—l beschränkt bleibt. 



Der RiESzsche Satz behält auch für die von uns betrachtete Funktionenklasse seine Gül- 

 tigkeit: in der Tat kann /(a) nur dann in einem Randpunkte den Grenzwert a haben, wenn 

 die Funktion (f'{x)--aip{x) in diesem Punkte verschwindet; die Menge dieser Punkte ist aber 

 eine Nullmenge, weil die letztgenannte Funktion beschränkt ist. 



Wir gehen zu einer weiteren Anwendung unseres Satzes (S. 26) über. Sei f{x.) eine 

 innerhalb des Einheitskreises reguläre analytische Funktion, für welche das Integral U,. be- 

 schränkt ist und die in den Punkten 

 (44) x„ = r„e'^" (m=1,2,...) 



verschwindet. Nach unserem Satze ist /(a-) gleich dem Quotient von zwei beschränkten 

 Funktionen <f{x) und i/'('), von denen die letztgenannte von Null verschieden ist. Der Zähler 

 if'{x) verschwindet also in den Punkten (44). Nun hat Blaschke') gezeigt, dass eine be- 

 schränkte Funktion, die in den Punkten (44) verschwindet, identisch gleich Null ist, wenn 

 die Reihe 



(45) £(l-r.) 



divergent ist, und wir schliesseu also, dass dieser BLASCHKESche Satz auch für die von uns 

 betrachtete Funktionenklasse gültig bleibt, ein Resultat, für welches im letzten Abschnitte 

 dieser Arbeit ein direkter Beweis gegeben wird. Stimmen also zwei Funktionen der von uns 

 betrachteten Klasse in einer Punktmenge (44) überein, für welche die Reihe (45) divergent 

 ist, so folgt hieraus, da ihre Differenz ebenfalls derselben Klasse angehört, dass die Funktionen 

 identisch sind; von dieser Bemerkung werden wir gleich Gebrauch machen. 



Sei /i(,c),/2(x), . . .,/„(a;),. . . eine unendliche Folge von Funktionen, die sämtlich inner- 

 halb des Einheitskreises eindeutig und regulär sind und für r<l und für jedes n der Un- 

 gleichung 



(46) t/'"' = J~ I log I /„ (re"") \d<f<M 







genügen, wo AI eine Konstante bezeichnet. Mittels des S. 23-24 angegebenen Verfahrens 

 kann man dann für Jedes n zwei beschränkte Funktionen <f„ (.') und i/'« (*) bestimmen, so dass 



1) W. Blaschke: Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen (Leipz. Ber. 

 Bd. 67, 1915, S. 194-200). 



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