28 F. und R. Nevanlinna. 



/"(-)- ^:] (n=l,2,...). 

 wo gemäss (36) ,*/'„(o) =e '' und also nach (46) 



(47) ;</'„(o)|>e-^' 

 für jedes n ist. 



Aus der Folge der beschränkten Funktionen (f„ix) {n = l,2,...) können wir nach dem 

 ViTALischeii .Satze eine Teilfolge y^, (i'=l,2,...) auswählen, die in jedem inneren Bereiche 

 des Einheitskreises gleichmässig konvergiert. Die Grenzfunktion (p{x) ist also für ia;|<l 

 regulär und beschränkt. Ebenso lässt sich aus der Folge (/^^^ (j'= 1, 2, . . .) eine Teilfolge 

 r/' (k=l,2,...) herausnehmen, die gegen eine beschränkte Funktion (/'(x) konvergiert; 



diese Grenziunktion ist wegen (47) nicht identisch gleich Null. Die Folge /„^ (x) (fc = 1, 2, . . .) 

 konvergiert also für fc — co gegen die endliche Funktion 



und wir erhalten demnach folgendes Resultat: 



Wenn /«(.f) (n= 1, 2, . . .) eine unendliche Folge von analytischen Funkiionen ist, die inner- 

 halb des Einheilskreises regulär und von der Art sind, dass die zugehörigen hitegrale U " für 

 r <C 1 unter einer von n unabhängigen Schranke liegen, so kann man aus ihr eine Teilfolge aus- 

 wählen, die in jedem inneren Gebiet gleichmässig konvergiert. Die Grenzfunktion f{x) gehört 

 wieder der betrachteten Klasse an. 



Wir wollen jetzt annehmen, dass die oben betrachtete Folge f„{x) (n=l,2,...) in einer 

 Punktmenge (44), für welche die Reihe (46) divergent ist, konvergiert: 



(48) lm\f„{x,) = z,. 



n — »CO 



Unter dieser Bedingung muss die Folge in jedem inneren Gebiet des Einheitskreises gleich- 

 mässig konvergieren. In der Tat könnte man im entgegengesetzten Fall aus der betrachteten 

 Folge zwei Teilfolgen f,,Jx) und /.^, (n=l,2,...) herausgreifen, die gegen zwei verschiedene 

 Grenzfunktionen /'"(x) bzw. /'-'(a") konvergieren. Dies würde aber im Widerspruch mit der 

 Bemerkung S. 27 stehen, nach welcher diese Funktionen, die ja nach (48) in den Punkten 

 (44) gemeinsame Werte haben, identisch sein müssen. Wir sehen also: 



Sei f„{x) (n=l,2,...) eine Folge von Funkiionen, die innerhalb des Einheilskreises regu- 

 lär sind und die für jedes n und r <C 1 der Bedingung 



2^ J log :/..(«■'") Idf/-^ M 



o 



genügen. Konvergiert diese Folge dann in einer Punklfolge (44) für welche die Reihe (45) di- 

 vergent ist, so konvergiert sie gleichmässig in jedem inneren Bereich des Einheitskreises. 



Tom. L. 



