über die Eigenschaften anahjt. Funkt, in der ünuiehmn einer singul. Stelle oder Linie. 29 



III. Über die Beziehungen zwischen der Verteilung der NulU 

 stellen und Pole einer analytischen Funktion und dem 

 Verhalten des absoluten Betrages derselben. 



13. In diesîem Abschnitt werden wir uns hauptsächlich mit der Untersuchung der Beziehun- 

 gen beschäftigen, welche zwischen der Verteilung der Nullstellfn und Pole und dem Anwachsen 

 des absoluten Betrages einer analytischen Funktion in der Umgebung einer siiigulären Stelle 

 oder Linie bestehen. Hierbei könnte man sich in einigen Fällen des verallgemeinerten Jensen- 

 schen Satzes (3) bedienen; indessen wird es vorteilhafter sein zu der allgemeineren Grundformel 

 (2) zurückzugehen und hier die willkürliche Funktion / in jedem besonderen Falle den gege- 

 benen Umständen gemäss zu wählen. Wie man die Wahl der Funktion / zu treffen hat, 

 wird aus den in der Folge behandelten Problemen hervorgehen; allgemein gesagt soll diese 

 Funktion so angenommen werden, dass die Werte der Summen links in (2) in möglichst 

 durchsichtiger und prägnanter Weise die Verteilung der Nullstellen und Pole charakterisieren. 

 Ferner wird es immer vorteilhaft sein, dass die Funktion / auf dem Rande oder wenigstens 

 auf grossen Teilen desselben verschwindet. 



14. Wir machen den Anfang mit einer in der Umgebung des unendlich fernen Punktes, 

 z.B. ausserhalb und auf dem Rande des Kreises |;c! = Ço. eindeutigen und meromorphen 

 Funktion f{x). Die nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten Nullstellen und Pole 

 der Funktion seien 



«1 , «2 , . . . , 0;, , . . . bzw. hl, b-i, - . -ilh, . ■ -, 



wo eine Stelle /t"''' Ordnung n mal vorkommt. Diese Punktfolgen häufen sich gegen den 

 unendlich fernen Punkt der Ebene, welcher im allgemeinen eine wesentlich singulare Stelle 

 unserer Funktion ist. Nun wird offenbar, falls f{.i) eine nicht identisch unendliche «der ver- 

 schwindende Funktion ist, zwischen der Dichte der Nullstellen bzw. dem Nullwerden der Funk- 

 tion für x-^co einerseits und der Polendichte bzw. dem Unendlichwerden der Funktion für 

 a; — CO anderseits eine Beziehung bestehen müssen derart, dass jene, in entgegengesetzten 

 Richtungen wirkend, einander kompensieren. 



Um diesen Zusammenhang zu untersuchen, gehen wir von der Grundformel (2) aus, die 

 wir in einem Kreisring Ço<^\x\<q anwenden. Unter k eine beliebige positive Konstante 

 verstanden, benutzen wir hierbei als Hilfsfunktion /(.r) die Funktion 







'«^i(7-7)^i^ ''-""'■ 



Welche auf dem äusseren Randkreis »•=(> des Ringes verschwindet. Führt man die Sprung- 

 funktionen /i(r, Po). fc('%eo) ein. welche die Anzahl der Nullstellen bzw. Pole innerhalb des 

 Kreisringes Qa<C\x\<ir bezeichnen, so wird 



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