liber die Eigenschaften analjil. Fimkf. in der Unujehung einer xingul. Stelle oder Linie. 31 



eine Gleichung, welclie, wie man sofort erkennt, den JENSENscheu Satz in leichter Verallge- 

 meinerung- wiedergibt. 



Lässt man in der obengewonnenen Formel (49) q ins Unendliche wachsen, so nähert sich 

 das letzte Glied rechts einem endlichen Grenzwert und die Gleichung gibt uns somit den 

 exakten Ausdruck für die Art, in welcher die Dichte der Nullstellen und Pole und das An- 

 wachsen der Funktion f{x) sich gegenseitig kompensieren. 



Als Anwendung der Formel (49) wollen wir folgenden Satz beweisen: 

 Sei f{x) eine in der Umgebung \x'.>Qo des unendlich fernen l'nnktes eindeutige, im 

 Endlichen reguläre Funktion mit den Nullstellen 



Oll , ^2 1 • • • 1 ß//- , • • • • 



Dann konvergieren bzw. divergieren die Reihe 



(51) Snr 



, |a,!* 



und das Integral 



(52) JfM- 



für jedes positive k gleichzeitig. 



Da keine Pole vorhanden sind, so ist jetzt k{r,Qo) = 0, und aus (49) wird 



?„ " «"„ ^ "' 



während die speziellere Formel (50) 



e 



(50)' f{Q)-f^{Ço)- [^^';^-^dr+à{Qo)\og^ 



J ' S« 



ergibt. 



Die letzte Formel zeigt uns, dass h{q) unter den vorliegenden Voraussetzungen von einem 

 gewissen Wert q an positiv und mit q ivachsend ist; in der Tat ist ja gemäss dem Argument- 

 prinzip ^{Qo) für ein genügend grosses Qq nichtnegativ während h(r,Qo) nach seiner Definition 

 nichtnegativ ist. Wir denken uns q so gross angenommen, dass fi{r) für r> q die beiden obigen 

 Eigenschaften besitzt. Dann ist es offenbar möglich eine Zahl ^'>e so zu wählen, dass 



(53) kf^,dr<'^^> + kj^,dr<kj0,dr. 



Dies ist klar, falls das Integral l fi{r)r' '•-^dr divergent ist, und falls es wiederum konver- 

 giert, so folgt die spätere Ungleichung aus 



'f=kj0,är<kj^,dr. 



e 



N:o 5. 



