32 F. und R. Nevanlinna. 



Auf Grund der Ungleichung (53) ergibt sich aus (49)" zunächst unmittelbar, dass die Integrale 

 (52) und 



(54) j'^dr 



gleichzeitig entweder konvergieren oder divergieren. I);i nun ferner 



'' (('. Co) 



und es somit, da h(r,ç„) nichtnegativ und mit r wachsend ist, für jedes e möglich ist e">? 

 so zu wählen, dass 



'M¥.'^< I ^<*/^^.-. 



so konvergiert bzw. divergiert die Reihe (51) gleichzeitig mit dem Integral (54) und somit 

 nach Obigem auch mit dem Integral (52). womit der Satz b(!Wiesen ist. 



Falls wir mit M(r) den Maximalbetrag von \f{x)\ auf dem Kreis \x\ = r bezeichnen, 

 so ergibt sich aus der Definition der Grosso /«(r) (S. 30) unmittelbar ^ (r) < log M (r) , und wir 

 schliessen folglich, dass für die Konvergenz des Integrals (52) jedenfalls hinreichend ist, dass 

 das Integral 



I 



iogMJr)-^^ 



konvergiert. Wir erhalten somit aus dem obenbewiesenen Satz folgendes Korollar: 



œ 



Falls das Integral I — ^/ dr für ein "positives k konvergent ist, so konvergiert auch 

 die Beihe V 



1 \%\' 



Dieses Resultat ist früher von Valiron i) für ganze Funktionen endlicher Ordnung bewiesen 

 worden. Zugleich hat er gezeigt, dass der Satz in diesem speziellen Fall umgekehrt werden 

 kann, was unter den obigen allgemeineren Voraussetzungen offenbar nicht möglich ist. 



15. In dem vorgehenden Artikel wurde eine analytische Funktion in der Umgebung 

 eines isolierten wesentlich singulären Punktes untersucht. "Wir wollen jetzt analoge Frage- 

 stellungen betreffs des Verhaltens einer Funktion in der Nähe einer singulären Linie behan- 

 deln. Hierbei werden wir, da die folgenden Betrachtungen den oben durchgeführten ganz 

 analog sind, uns etwas kürzer fassen können. 



Sei also f{x) eine z.B. in der inneren Umgebung eo< a; | < 1 des Einheitskreises ein- 

 deutige meromorphe Funktion mit den nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten Null- 



1) G. V^ ALIRON: Sur les fonctions d'ordre fini (Bulletin des scieuces math., 2'' serie, t. XLV, septembre 1921). 



Tom. L. 



