über die Eigenschaften analyt. Funkt, in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 33 



stellen a,, «2 , a,,, . . . und Polen bi^b«. ■ . .,b,, . . . Diese Punktfoigen häufen sich gegen 



die Peripherie des Einhoitskreises. welche ganz oder teilweise eine singulare Linie der Funktion 

 f(x) sein kann. Wir wollen eine der Formel (40) analoge Gleichung herleiten, welche uns zeigen 

 wird, wie die Dichte der Nullstellen und Pitle und das Anwachsen der Funktion einander 

 beeinflussen. 



Sei eo<?<l i^iûd fc>0; wir wenden die Grundformel (2) in dem Kreisring Qo^f^9 

 an mit 



/.ix)= i{l-tf'j (a; = r-e"P). 



Werden die Grössen h(r,Qo), fc(»",?o)- i"(*") und A(r) wie oben definiert, so ergibt sich analog 



mit der Formel (49): 



e 



j\Hr,Q,)^k(r,Ço)){i-rf~ = 



(55) '" , 



(1 - ?)V (?) - (1 - e„)V (Po) + fe J'^ (r) (1 - rf dr - A (oo) J(l - r)'^" • 



Diese Formel gilt für alle o, < () < 1 zunächst für jedes positive k; man kann jedoch auch 

 hier k gegen Null abnehmen lassen und erhält so an der Grenze wieder die erweiterte Jen- 

 SENsche Formel (50). Für q — 1 nähert sich das letzte Glied der obigen Gleichung einem 

 bestimmten Grenzwert, und die Formel (55) liefert uns somit ein Gesetz, nach welchem die 

 Dichte der Nullstellen und Pole und das Wachstum der Funktion in der Umgebung des Ein- 

 heitskreises sich gegenseitig im Gleichgewicht halten. 



Falls insbesondere die Funktion f{x) in dem Gebiet eo<r<l regulär d.h. polfrei ist 

 und somit k{r,()o) = 0, so folgt mittels einer der auf S. 31—32 durchgeführten analogen 

 Überlegung, dass die Integrale 



? p 



Jfe(r,eo)(l-r)'-^ und J fi{r){l-r)'~'dr 



für jedes positive k mit ? — 1 zugleich entweder konvergieren oder divergieren; dies gilt auch 

 noch für fc = 0, wenn das zweite Integral mit jO (?) ersetzt wird. Nun ist offenbar das erste 

 Integral in Bezug auf Konvergenz und Divergenz für q -^1 mit dem Integral 



fh(r,Qo)a-rfdr 



gleichwertig, und dieses Integral wiederum konvergiert oder divergiert zugleich mit der Reihe 



(56) 2^ (1 - 1 «/^ 



In der Tat ist ja 



!+*• 



N:o 5. 



