34 F. und R. ISi e v a n i, i n n a . 



ik+l)jhir,Q,){l-rtdr=^il-\a,\f + '-h(Q,Q,){l-Qf + '', 



und es existiert demnacli für jedes ?(,<?<! eine Zahl q' zwischen q und 1 von der Art, dass 



(fc + 1) fhir,Qo) (l-rfdr < ^^ (i - j o^ )' + '■ < (fe + l)Jhir, (.>o) {1-rfdr. 



Hiermit haben wir folgendes Ergebnis: 



Sei f{x) eine in dem Gebiet eo<^<l eindeutige reguläre Funktion mit den nach wachsenden 

 absoluten Beträgen geordneten Nullstellen Oj , a, , .... a,j , ... . Dann sind für jedes fe > die 

 Grenzwerte der Summe (56) und des Integrals 



Jfi{r){l-rf-'dr 



für o -^ 1 gleichzeitig endlich oder unendlich; dies gilt auch noch für fc = , falls das Integral 

 mit fi (q) ersetzt wird. 



Bezeichnet M{r), wie oben, den Maximalmodul der Funktion auf dem Kreis \x\ = r, so 

 folgt hieraus, da fj (r) <, log M {r), der speziellere Satz: 



1 



Falls für ein positives k das Integral I log M (r) (1 — »')'" '(^*" endlich ist, so konvergiert 



die Reihe V (1 — | a;^ | ) . Wenn fc = , so ist für die Konvergenz dieser Reihe hinreichend, dass 

 1 



]ogM(r) und somit die Funktion f{x) selbst in der Umgebung des Einheitskreises beschränkt ist. 



Der den Fall fc = betreffende Teil dieses Satzes ist für den Fall einer in dem ganzen 



Einheitskreise regulären Funktion von Blaschke ') bewiesen worden. 



16. Wir werden jetzt zur Betrachtung einer innerhalb und auf dem Rande eines sich 

 ins Unendliche streckenden Sektors 



(67) r^eo, Ifl^fk (^ = ^e"') 



meromorphen Funktion f{x) übergehen. Die Nullstellen bzw. Pole der Funktion bezeichnen 

 wir, wie oben, mit aj, «s, . . ., o,^, . . . bzw. 6,, bz, ■ ■ ■,b,, . . . und schreiben 



a^=\a^le^"'\ bv=\bv\e^ '. 



Unter diesen Voraussetzungen bringen wir die Grundformel (2) S. 6 zur Anwendung in 

 dem Gebiet 



mit 



') loc. cit. 



% 



Tom. L. 



