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wo P ein Ausdruck ist, welcher sich für g — oo einem iestimmten endlichen Grenzwert Po nähert. 

 Fasst man das Obige zusammen, so gelangt man zu der folgenden allgemeinen Formel: 



(60) j^^är + y^'^ + j^'ipdr}-.j"-^^-när^P. 



Bevor wir in den nachfolgenden Artikeln zu spezielleren Anwendungen dieser Formel 

 übergehen, sei nachstehende allgemeine Bemerkung zu ihrer Erläuterung vorausgeschickt. Die 

 linke Seite der Formel enthält drei wesenthch verschiedenartige Gheder. In der Tat : das erste 

 Glied ist durch die Werte bestimmt, welche der Modul |/(a;)l auf den Berandungsstrahlen 

 des Sektors (57) annimmt, das zweite Glied hängt allein von den Werten des Moduls \f{x)\ 

 innerhalb dieses Sektors ab, das dritte Glied i.st durch die Verteilung der Nullstellen und Pole 

 der Funktion vollständig bestimmt. Die Formel lehrt uns, dass diese drei Gheder für ç — oo 

 einander im Gleichgewicht halten derart, dass die Summe sich hierbei einem bestimmten end- 

 lichen Grenzwert Po nähert. Diese Tatsache erhält vielleicht ihren prägnantesten Ausdruck, 

 wenn wir sie in der Form des folgenden allgemeinen Prinzips betreffs des identischen Ver- 

 schwindens einer in dem Gebiet (57) meromorphen Funktion aussprechen: 



Sei f{x) eine innerhalb und auf dem Rande des Gebietes (57) meromorphe Funktion 

 mit den nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten Nullstellen a,,= \a/jL\e '^ und Polen 

 bi,= \bv e . Falls dann die untere Grenze des Ausdruckes (60) für q — oo negativ unendlich 

 ist, d. h. falls eine Folge ins Unendliche wachsender Zahlen d, Ç21 ■ • ■ existiert derart, dass der 

 besagte Ausdruck gegen — 00 konvergiert, wenn q diese Zahlenfolge durchläuft, so muss die Funk- 

 tion f{x) identisch verschwinden. 



Auf Grund dieses Prinzips werden wir in der Folge eine Reihe von Sätzen betreffs des 

 identischen Verschwindens einer analytischen Funktion beweisen. 



17. Nehmen wir vorerst an, es sei die obenbehandelte Funktion f{x) im Gebiet (57) 

 regulär, so ist ?>(r) = 0. Da ferner a(r) seiner Definition nach eine nichtnegative Grösse ist, 

 so wird im vorliegenden Fall der Ausdruck (60) jedenfalls nicht kleicer, wenn man das letzte 

 Glied weglässt. Hieraus folgt aber auf Grund des am Ende des vorhergehenden Artikels 

 formulierten Prinzips folgender allgemeine Satz: 



Sei fix) eine innerhalb und auf dem Bande des Gebietes (57) reguläre Funktion. Falls dann 



wo «(r) und m(r) durch (59) definiert sind, so muss die Funktion f(x) identisch verschivinden. 



Da dieser Satz noch sehr allgemein ist, wird es angemessen sein, einige der wichtigsten 

 Fälle zu erwähnen, wo die Bedingungen desselben realisiert sind; die so erhaltenen Resultate 

 werden wir als besondere Sätze formuheren. Wir machen den Anfang mit folgendem Satz: 



Sei f{x) eine innerhalb und auf dem Bande des Gebietes (bl) reguläre Funktion der Variable 

 x = re''', welche folgenden Bedingungen genügt: 



Tom. L. 



