38 F. und R. Nevanlinna. 



rechts und somit a fortiori das Integral links für ç-»oo negativ unendlich wird. Dies zeigt 

 aber in Verbindung mit der Ungleichung (a), dass die Bedingung (A) S. 36 erfüllt ist. 



Aus dem obenbewiesenen Satz folgt z. B., dass eine im Gebiet (57) reguläre Funktion, 

 welche auf den Berandungsgeraden einer Ungleichung 



log|/(re-*2ï)|<;_;j^« 



mit >«>0, a^k genügt, während in den inneren Punkten 



log|/(re''«')|^Mr*-, 



identisch verschwindet. Dieser spezielle Satz wurde zuerst von WatsonI) für den Fall a>fc 

 bewiesen, später hat der eine von uns ^) die Gültigkeit des Satzes auf den Fall « = fe erweitert. 

 Wie unser allgemeinere Satz zeigt, kann man noch weiter gehen und auf dem Rande z. B. 

 nur noch 



log|/(re-'2^)|<-, ^ -, 



° ' ' ^ -^ ' — log r log2 }• • • • log» r 



voraussetzen, wo log« den n-mal iterierten Logarithmus bezeichnet. 



Neuerdings hat Carleman ^) einen Satz angegeben, welcher in Bezug auf Allgemeinheit 

 und Präzision dem oben formulierten sehr nahe kommt. Indessen ist bei ihm die der Be- 

 dingung 1" entsprechende Voraussetzung etwas restriktiver, indem angenommen wird, dass 

 für Q-*oo 



i 



(log|/(re'^^-), + log|/(,-e »2.)i)^^__oo 



?0 



in der besonderen Weise, dass 





+ „■- 4 



»o^^ I , .-.'_( _t/ — «Oi.x IS dr 



(logi/(»-e'")| + logl/(re '2t)|) 



für ? > Po nach oben beschränkt bleibt. Diese Voraussetzung hat offenbar das Bestehen 

 unserer Bedingung 1» zur Folge, während das Umgekehrte nicht gilt. 



In dem obigen Satze wurde vorausgesetzt, dass die Funktion f{x) im Inneren des Sektors 

 (57) nicht zu schnell wächst, so dass das rapide Abnehmen der Funktion längs dem Rande 

 das identische Verschwinden bewirken konnte. Wir werden jetzt einen Satz von entgegen- 

 gesetzter Natur beweisen, wo das identische Verschwinden der Funktion durch eine rasche 

 Abnahme im Inneren, kombiniert mit einem in geeigneter Weise eingeschränkten Zuwachs 

 längs dem Rande zu Stande kommt. 



1) Ä iheory of asymptotic series (Trans, of the Royal Society of Loudon, Series A, Vol. 211, pp. 279 — 

 313). Vgl. auch eine kürzlich erschienene Arbeit von Mellin: Die Theorie der asymtotischen Reihen vom Stand- 

 punkte der Theorie der reziproken Funktionen und Integrale (Ann. Acad. Scient. Fennicae, Ser. A, Tom. XVIII, 

 N:o 4, 1922, S. 27). 



-) F. Nbvanlinna: Zur Theorie der asymptotischen Potenzreihen (Ann. Acad. Scient. Fennicae, Ser. A, T. 

 XII, 1918, S. 11-12). 



') Sur im théorème de M. Denjoy (loc. cit.). 



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