liber die Eigenschaften analyt. Funkt, in der Umgebung einer singul. Stelle oder Linie. 39 



Sei f{x) eine innerhalb und aiif dem Rande des Sektor.s (57) reguläre Funktion, welche 

 folgenden Bedingungen genügt: 



1". Auf den Berandimgsgeraden ist 



'^{\oë\fire'^')\ + log\f{re~'^)\] < A{r), 

 wo A(r) eine reelle Funktion bezeichnet derart, dass für alle ? > ("o das Integral 



T(9)^J^. 



dr 



unter einer endlicJten Zahl T liegt. 



2". Im Inneren des Sektors ist die Funktion so beschaffen, dass der Ausdruck 



2* 

 m' ' 



^ = ^1 flog\f{re<^)\coskv>dif 



T r *J 



für alle r^-Qo unter einer endlichen Zahl M liegt, während 



liminf. — V^ = — oo. 



Unter diesen Voraussetzungen verschwindet die Funktion f{x) identisch. 

 Zunächst ergibt sich analog wie beim Beweis des vorhergehenden Satzes 



woraus, da gemäss der ersten Voraussetzung T{r)<,T, folgt, dass 



(a) J^^dr<^Jd{r'^)^T 



'oo 



für jedes q>Qo- 



Ferner wird auf Grund des ersten Teils der zweiten Bedingung für q> Qo 



(b) 



l^j'^Ur<fj.-.ril 



während auf Grund des zweiten Teils dieser Voraussetzung 



(c) lim inf. — R' = — oo . 



Die Bedingung (A) S. 36 ist also in Folge der Beziehungen (a), (b) und (c) wiederum erfüllt. 

 Dieser Satz ist als eine Verallgemeinerung folgenden Satzes von Persson ') aufzufassen, 

 dem schon im zweiten Abschnitt eine erste Erweiterung gegeben wurde. 



') Recherches sur une classe de fonctions entières (Thèse, Upsala 1908, p. 8), 

 N:o 5. 



