k 



40 F. und R. Neva N LINN A. 



Sei f(x) eine innerhalb und auf dem Rande des Winkelgebietes i(^|<^ reguläre Funktion, 

 welche auf der Berandung beschränkt ist, während im Inneren 



\f(x)\<e-'''''^^\ 



wo « (r) — oo für r-*oo. Dann ist f (x) = 0. 



Man sieht sofort, dass dieser Satz eine spezielle Konsequenz des obigen Satzes ist. Ins- 

 besondere bemerke man, dass es nach unserem Satze keineswegs wesentlich ist, dass die 

 Funktion auf dem Rande beschränkt ist; Iog!/(x)| kann hier ins Unendliche wachsen bei- 

 spielsweise wie zr''(z>0, a<fc) oder auch noch wie 



xr^ 



log r log, r ■ •■ (log« r) ^ + ^ 



falls f >0. Auch betreffs des Verhaltens der Funktion im Inneren fordert unsere Bedingung 

 2" offenbar viel weniger als die entsprechende Bedingung des PERSsoNschen Satzes. 



18. Bei den im vorhergehenden Artikel bewiesenen Sätzen betreffs des identischen Ver- 

 schwindens einer analytischen Punktion wurden die eventuellen Nullstellen garnicht berück- 

 sichtigt. Wir wollen jetzt, immer auf Grund des am Ende des Artikels 16 formulierten 

 allgemeinen Prinzips, einige Sätze über das identische Verschwinden einer analytischen 

 Funktion beweisen, wo diese Erscheinung wesentlich von dem Vorhandensein von Nullstellen 

 bedingt wird. 



Sei f{x) eine innerhalb und auf dem Rande des Sektors 



(57) r>Qo,\(f\<~ 



meroînorphe Funktion der Variable x = re'f mit den nach wachsenden absoluten Beträgen geordneten 

 Nullstellen 



a, , 02, . . ., au = I 0/i|e '', . . . 

 und Polen 



bijb^, . . .,by= \bu\e ",.... 



Sei ferner A (r) eine nichtnegative Funktion derart, dass für q^oo 



TiQ)=Jj^^dr-^oo, 



und es genüge f{x) folgenden Bedingungen, wobei p, q und n Konstanten sind, während s{r) 

 allgemein jede Grösse bezeichnen kann, die für r — oo verschwindet: 

 1". Auf den Berandungsgeraden des Sektors (57) ist 



l {log \fire' ^\ I + log I / (re- '^) | } < [p + « (r)] A (r) . 



2". Im Inneren des Sektors ist die Funktion so beschaffen, dass 



Tom. L. 



