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Schliesslich folgt aus der dritten Bedingung des Satzes 



? ? 



id) J''-^,^dr>f[n + sir)]j^,dr>ln + ^iQ)] Tig). 



Fasst man jetzt die erhaltenen Ungleichungen (b), (c) und (d) zusammen, so findet man, 

 dass der Ausdruck (60) S. 36 kleiner als 



[p+'^-n^ + i(Q)]T(Q) 



ist und also, da T(e) — + co und «(?)-' für ç-*oo, bei unbegrenzt wachsendem q ne- 

 gativ unendlich wird, falls nsr^p + ^ ist; hiermit ist der Satz bewiesen. 



Wir wollen einige einfache Spezialfälle dieses allgemeinen Satzes hervorheben und durch 

 Beispiele beleuchten. 



Nimmt man A (r) = r*', was zulässig ist, da 



r 

 Po 



für r— CO positiv unendlich wird, so erhalten die Bedingungen des obigen Satzes folgende 

 spezielle Form: 



1". Auf den Berandungs geraden des Sektors (57) ist 



I {log Ifire'^) i + log \fire' '^ | ! < [p + ^ (r)] r". 

 2". Im Inneren genügt die Funktion der Bedingung 



K 



2k 



m (r) = r, j log I / (»•e'>) \cosk(pdif <i[q + e (r)] r*' log r. 



3". Die Verteilung der Nullstellen und Pole genügt der Bedingung 



a{r) — b{r)= V cosfc«;!— V cosfc/î„> [n + *(r)] r*'. 



?„ < I o„ K >• ?„ < I *y K I 



Unter diesen Bedingungen müssen also gemäss des allgemeinen Satzes die Konstanten p, q 

 und n der Ungleichung (61) genügen. Dieses speziellere Resultat enthält als Teilergebnis für 

 q = einen bekannten Satz von Carlson '), jedoch in wesentlich schärferer Fassung. 



^) -Sur une classe de séries de Taylor (Thèse, Upsala 1914, p. 58). In seiner obenzitierten Arbeit (p. 27) 

 hat auch Mellin ein mit dem Oarlsonschen Satz verwandtes Resultat angegeben. 



Tom. L. 



