über die Eigenschafleii aiiahß. Funkt, in der Umgebung einer singid. Stelle oder Linie. 43 



Zur Erläuterung des oben behandelten Spezialfalles mögen folgende Beispiele dienen: 

 Für /(.t)= sin.T.f*- wird 



\ (log l /(re'^) I + log I (fre- '^) \ ) ~ ^r^ 

 ferner 



m (r) ~ ^^— I \ sin k(f' \ cos k (f d(f = —^- ,_ 



1 



während, da unsere Punktion in dem Gebiet die einfachen reellen Nullstellen a^ = ft" hat und 

 polfrei ist, a(r)'^r''' und b{r) = ist. 



Die Funktion sin stx''' genügt somit den obigen spezielleren Bedingungen mit doii Kou- 

 stantenworten p = ^, g = 0, n=l und diese Werte genügen in der Tat der Bedingung (61), 



indem jJ + "^ = ^ i^*- 



Bin interessanteres Beispiel bietet uns die Funktion 



/W = ^^ 



Auf Grund der Stirlingschen Formel wird hier 



log / {x) '^' a;*' [log a;*' + ^i] + a;'', 



wo das obere Zeichen für jedes -=^<y'<0, das untere für 0<y<^ gilt. Mit Hilfe 

 dieser asymptotischen Formel findet man unmittelbar 



l { log I / {re ") I + log 1 / {re~ '") j } ~ f r" 



und 



2 k 



k'- 

 m 



(r) ~ r*' log r ^ I cos- k<f d(f = ^ r* log r 



2 i- 



Schliesslich ist, wie im vorhergehenden Beispiel a{r)-^r''\ fc(r) = 0. Die betrachtete Funktion 

 genügt somit den oben aufgezählten Bedingungen mit p = i^, g = -p . ^ = 1; in der Tat ist 

 n.T (= sr) gleich p + ^ (= ^) • 



Nimmt man in unserem Satz S. 40—41 statt Air) = r'-- allgemeiner 



Air) = r^^Oogr)-", 

 wo « < 1 , so wird 



1 — "' ^ 



( log log r — log log Po • wenn « = 1 . 



Die Bedingungen des Satzes erhalten somit die Form: 

 1". Auf den Berandungsgeraden des Sektors (57) ist 



N:o 5. 



