44 P. und R. Nkvanlinna. 



l { log , / ire'^') I + ]og I f(re~ ' ") 1 } < [p + * (r)] r* (log r) " ". 

 2". Im Inneren des Sektors genügt die Funhlion der Bedingung 



,P , (f^ + .(,)],'.l|^'-", wenn «<1, 



TO(r) = " log i /(re'") j cos fc</ dff < ' - « 



" ''^ l [g + * (»■)] ^*' log log ^ ' wenn « = 1 . 



3". /Jt'e Verteilung der Nullslellen und Pole genügt der Bedingung 



a(r) — h{r)= V co^ha^— V cos fc/:?^ > [n + f (r)] r*' (log r) ". 



Zur Illustration dieses Spezialfalles betrachten wir die ganze Funktion vom Geschlecht 

 k (es ist also jetzt k eine ganze positive Zahl) 





mit den Nullstellen 



1 



a,.=[^.« (log /*)"]'•, ('f>0, a^l). 

 Betreffs dieser Funktion gilt, wii; Lindelöf gezeigt hat, folgende asymptotische Forme] 



log/(a;) ; a;'(log j; + .T'i)'"" bzw. -ya;*log(loga; + »t) 



je nachdem «<1 oder « = 1; hierbei besteht das obere Zeichen für — 2^<y<0, das 

 untere für 0<f/-<2iT. Auf Grund dieser asymptotischen Eigenschaft erhält man unschwer 

 im Falle « < 1 



_ -^ 



Jnog:/(re'2^)' + log t(re~'^) \ ~ l-|^'r'(logr)-" 

 ^ l ' v.k 



und 



m 



^ ' xT 1-« 2 J ^ ' 4,,^.« 1-a 



2 k 



für « = 1 sind die Ausdrücke rechts mit 



— f^~- und —r^loglogr 

 zu ersetzen. Ferner findet man 



«('")~"7^»■^log»•^^ 



xA- 



während b(r) = 0. Alles zusammengenommen sehen wir, dass die betrachtete Funktion de:i 

 S. 43—44 formulierten Bedingungen genügt mit 



Tom. L. 



