Einleitung. 



Ill der vorliegenden Arbeit werden diejenigen Beziehungen untersucht, welche zwischen 

 dem Anwachsen einer analytischen Punktion f{x) und der Verteilung der Wurzeln der 

 Gleichung 

 (A) fix)^z 



für verschiedene Werte z in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie bestehen. 



Nachdem Picard seinen berühmten Satz entdeckt hatte, nach welchem die obige Gleichung 

 in der Umgebung eines isolierten, wesentlich singulären Punktes höchstens für stoei Werte s 

 wurzelfrei ist, entstand in natürlicher Weise die Frage, mit welcher Dichte die Wurzeln für 

 verschiedene Werte z auftreten. In der Theorie der ganzen Funktionen wurde diese Frage 

 von BoREL in einer bekannten Abhandlung (Acta Mathematica, T. 20, 1897) aufgeworfen 

 und untersucht. Seinen bahnbrechenden Untersuchungen folgte eine ganze Reihe von Arbeiten 

 verschiedener Autoreu, welche dieselbe und verwandte Probleme behandeln. In der letzten 

 Zeit hat Valiron ^) die dem PiCARDSchen Ideenkreis zugehörigen Fragen in mehreren Unter- 

 suchungen aufgenommen und die früheren Ergebnisse wesentlich verschärft und erweitert; 

 er hat u. a. bei gewissen Klassen" analytischer Funktionen, die nur innerhalb eines endUchen 

 Kreises regulär sind und deren Anwachsen bei Annäherung an die Randpunkte hinreichend 

 stark ist, Sätze gefunden, welche den BoREMchen Ergebnissen in der Theorie der ganzen 

 Funktionen analog sind. 



Im Folgenden wird eine allgemeine Methode zur Untersuchung der Verteilung der Wur- 

 zeln der Gleichung (A) entwickelt. Als funktionentheoretische Grundlage dient uns hierbei 

 eine allgemeine Formel, iii welcher eine innerhalb eines gegebenen Gebietes meromorphe 

 Funktion durch die Randwerte ihres absoluten Betrages und durch ihre Nullstellen und Pole 

 dargestellt wird^); als speziellen Fall enthält sie den JENSENSchen Satz. Wegen der Form 



1) Ct. Valiron: a) Leg thém-èmes généraux de M. Burel dans la théorie des fonctions entières (Ann. Éc. Nor- 

 male, Sf série, t. XXXVIl, 1920, p. 219—253), b) Le théorème de M. Picard et les généralisations de M. Borel 

 (G. R., t. 170, 1920, p. 167—169), c) Remarques sur le théorème de M. Picard (Bull. se. math., 2« série, t. XLIV, 

 1920, p. 91^104), d) Recherches sur le théorème de M. Picard (Ann. Éc. Normale, S^série, t. XXXVIII, 1921, 

 p. 389—429), e) Sur les zéros des fonctions entières d'ordre infini (C. R., 1921, p. 741—744), f) Recherches sur le 

 théorème de M. Picard dans la théorie des fonctions entières (Ann. Ec. Normale, 3« série, t. XXXIX, 1922, p. 

 317—341). 



^) Vgl. F.' und R. Nevanlinna: über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgeh^mg einer sin- 

 gulären Stelle oder Linie (Acta Soc. Sc. Fennicae, t. L, N:o 5, 1922). In dieser Arbeit wird die genannte Formel 

 zur Untersuchung verschiedener funktionentheoretischer Fragen benutzt. 



