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des letztgenannten Satzes, dessen grundlegende Bedeutung bei Fragen der hier betrachteten 

 Art wohlbekannt ist, liegt es nahe die Nullstellendichte einer Punktion /(x) innerhalb eines 

 Kreises durch das Anwachsen des Integrals 



N{r,f)=^J'^dt, 



zu charakterisieren, wobei n{r,f) die Anzahl der Nullstellen von f(x) innerhalb des Kreises 

 a; < r bezeichnet. Aus demselben Grunde ist es zweckmässig als zweite, das Anwachsen 

 der Punktion f{x) charakterisierende Fundamentalgrösse den Mittelwert 



<£ TT 



1 I' + 

 ''(*•,/) = 2„J log /(re"'Oidy 



m 



zu wählen, wo log / die Zahl log / oder Null bezeichnet, Je nachdem / ! > 1 oder / 1 < 1 

 ist 1). Aus dem Folgenden dürfte hervorgehen, dass die Einführung dieses Mittelwertes, womit 

 wir also die gewöhnlich angewandte Fundamentalgrösse M{r) = max f(x) ersetzen, in meh- 



\x\=>- 



reren Hinsichten vorteilhaft ist: nicht nur die Beweise gewinnen so an Kürze und Übersicht- 

 lichkeit, sondern auch die Ergebnisse an Genauigkeit. 



Unsere Arbeit ist in vier Abschnitte eingeteilt. In dem ersten Abschnitt werden die in 

 der folgenden Untersuchung gebrauchten Hilfsformeln zusammengestellt. Um das Wesent- 

 liche unserer Methode an einem einfachen Fall deutlich hervortreten zu lassen, geben wir 

 im zweiten Abschnitt einen Beweis des speziellen PiCARDSchen Satzes. In dem folgenden 

 Abschnitt wird das anfangs gestellte Problem ganz allgemein behandelt. Unter der Voraus- 

 setzung, dass die betrachtete analytische Funktion innerhalb eines Kreises regulär ist, wird 

 zunächst eine Ungleichung zwischen den Grössen m{r,f), ]V(r, / — ») und N(r,f — b) (a^ü) 

 hergeleitet. Aus dieser Hauptungleichung folgt dann eine Reihe von Sätzen über die Ver- 

 teilung der Nullstellen der Funktion f{x) — z, wobei wir zwei Fälle unterscheiden, je nach- 

 dem f{x) eine ganze Funktion, oder nur innerhalb eines endlichen Kreises regulär ist. Weiter 

 werden einige Betrachtungen über die Genauigkeit der erzielten Resultate angestellt ^). lu 

 dem letzten Abschnitt zeigen wir schliesslich, dass die Hauptungleichung fast unverändert 

 ihre Gültigkeit beibehält, falls die betrachtete analytische Funktion nur innerhalb eines 

 Kreisringes regulär angenommen wird. Es geht hieraus insbesondere hervor, dass die vorher 

 bewiesenen Sätze über den Wertvorrat einer ganzen Funktion allgemeiner für jede in der 

 Umgebung eines wesentlich singulären Punktes eindeutige und reguläre Funktion bestehen. 



') Der Mittelwert m{r,f) ist, wie in der oben zitierten Arbeit gezeigt ist, eine wachsende Funktion 

 von r, und genügt in einem Kreisringe dem Dieikreissatz: Vgl. die Fussnote S. 10 in der vorliegenden 

 Arbeit; siehe auch: F. Ribsz: 8iir les valeurs mni/ennes du module des fonctions harmoniques et des fonctions 

 analytiques (Acta litt. ac. scient, regiae univ. Hung. Fransisco-Josephinae, Sectio scient, math., t. 1, f. 1, 1922). 



-) Einen Teil dieser Ergebnisse haben wir in einer Note: Sur le théorème de M. Picard (C. R., 6 août 

 1923) mitgeteilt. 



Tom. L. 



