Unlersvchiinqen über den l'icard'schcn Satz. 



I. Einige funktionentheoretische Formeln. 



1. In diesem Abschnitt wollen wir einige für das Folgende notwendige funktionejitheo- 

 retische Hilfsformeln zusammenstellen. Es sei f{x) eine analytische Funktion der komplexen 

 Variable .T = re"", welche innerhalb und auf dem Eande /' eines von einer endlichen Anzahl 

 analytischer Kurvenstücke begrenzten, zusammenhängenden (rebietes G eindeutig und mero- 

 morph ist. Die innerhalb G gelegenen Nullstellen und Pole der Funktion seien a,, (,« = 1, 

 2, •••,m) bzw. b. (r= 1, 2, ■ • -,«). Es bezeichne ferner g{x,xo) die Green'sche Funktion des 

 Gebietes G mit ihrem Pol im Punkte x = xo, und —'h{x,xo) die zu (jix,X()) konjugierte har- 

 monische Funktion. Dann gilt die Darstellung 



log i y (x) 1 = 2^^ j log f{i),dh(S,x:)-Yj9ix,a.,) + '^g{x,b,) 



in jedem inneren Punkt von G'); btJi der Integration soll hier der Randpunkt J den Rand 1' 

 in positiver Richtung durchlaufen. 



Im Folgenden brauchen wir diese Formel in dem besonderen Fall, wo G ein Kreis x\<,q 

 ist. Dann wird 



h(:§,x) = -arg^^, = dt (hog [(x^é) (Q'-ix)]), 

 wo X und Ï die zu ./; bzw. Ï konjugierten Zahlen bezeichnen, und also für r<Q 



(1) log|/(re'^)l = .'- llogfige'^) , , #^-7^" ><i^ - ^log !4^^ I +5] log 



■b^x 



e(^-h^ 



Fügt man in (1) auf beiden Seiten die konjugierten harmonischen Funktionen mit i 

 multipliziert hinzu, so ergibt sich für log/(x) die Darstellung 



(2) log/(.)=,'Jlog|/(,.»^)j5^.^.-Vlog|;-^5-HXlog^^U*C, 



'q(x- k 



wo C eine geeignet gewählte reelle Konstante ist. Ausser von dieser Darstellung, die von 

 fundamentaler Bedeutung für die folgende Untersuchung sein wird, werden wir von der 

 JENSENSchen Formel 



St' 



(3) log , / (0) = J^ / log / (o Z'^) dl> ^ 2; !*>§ Vb ' S i^s ^ 







Gebrauch machen; sie ist in der »PoissoN-JENSENSchen» Formel (1) als spezieller Fall {x = 0) 

 enthalten. Um die Beziehung (3) auf eine für die Anwendungen zweckmässige Form zu 



') Vgl. die S. 3 zitierte Arbeit von V. imd R. Xevani.inna, insb. S. 7. 

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