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bringen, führen wir folgende Bezeichnungen ein: Es sei n{r,f) die Anzahl der Nullstellen von 

 / (a;) innerhalb des Kreises a; [ < r , und -^ 







m(r,/) = 2^Jlog|/(re''')|dy, 



wo log /, gleich log / oder Mull ist, je nachdem / >1 oder / 1 ist. Beachtet man 

 dass demnach log | / = log | / 1 — log i -, I ist, so kann man die JENSENSche Formel durch eme 

 leichte Umformung der rechtsstehenden Summen in folgender Form schreiben: 



(4) m(r,/) + .v(r,^.)=7/i(r,J.)+AT(r,/) + C„, 



wo Co = log /(0) von r unabhängig ist. Diese Formel setzt voraus, dass /(0) endlich und 

 von Null verschieden ist. Ist dies nicht der Fall, sondern ist der Punkt x = z. B. eine 



f(x) 



Wo(/)-fache Nullstelle von fix), so kann die Formel (4) auf die Funktion /(a;)=^^(n ange- 

 wandt werden. Man findet so ohne Mühe 



(4)' m (r, /) + N (r, ^) = m (r, ^'.) + .V (r, /) + C« + n« (/) log r, 



wobei Co = log 1/(0) ,, und N{r,f) jetzt das TntfS'ral 



A-(r,/)_ j'»^'--f'-"^fUt 







bezeichnet. In analoger Weise wird die JENSENSche Formel modifiziert falls der Nullpunkt 

 ein Pol ist. 



Wir heben ausdrückhch hervor, dass sämtliche von r abhängigen Gheder der JENSEXschen 

 Formel (4)', ausser möglicherweise dem letzten, nicht negativ sind. Lässt man also einzelne 

 dieser vier Glieder weg, so geht die Gleichheit (4)' in eine Ungleichung über, deren Richtung 

 auf Grund des eben erwähnten Umstandes unmittelbar zu ersehen ist. In dieser Weise werden 

 wir die Formel (4)' mehrmals anwenden. 



Zuletzt wollen wir auf zwei einfache Ungleichungen hinweisen, von denen im Folgenden 

 wiederholt Gebrauch gemacht wird, und die unmittelbare Folgerungen der Definition der 



Zahl logt sind: Wenn Oi,«2,---,«p reelle, nichtnegative Zahlen bezeichnen, so gilt 



^- + + + 



(6) log («1 «2 • • • aj,) £ log «1 + log «2 + • • • + log «^ , 



und 



+ + + + 



(6) log(«i + «2 H + «p) < log«i + log«2 + • • • + log«^ + logjj. 



Tom. L. 



