Unlersuvkunoen über den l'icard'schßn Salz. 



II. Beweis des speziellen Picard'schen Satzes. 



2. Der spezielle PicARDsche Satz besagt, dass eine ganze Funktion jeden endlichen Wert, 

 ausser möglicherweise einem einzigen, annehmen nmss, es sie denn dass sie sich .iiif eine 

 Konstante reduziert. Der Gang des von Borel gegebenen »eletneutären» Beweises dieses Salzes 

 ist in aller Kürze folgender: Unter der Annahme, dass die ganze Funktion /(a:) von zwei 

 endlichen Werten verschieden ist, wird eine Ungleichung zwischen zwei veischiedenen Werten 

 M(rj) und M (u) des Maximalmoduls i¥ (r) =- max | / (a;) i aufgestellt; dann wird gezeigt, 

 dass. diese Ungleichung zu einem Widerspruch führt, wenn f{x) nicht in der ganzen Ebene 

 konstant ist. Ein ähnlicher Gedanke liegt auch dem nachstehenden Beweise zu Grunde, mit 

 dem Unterschied, dass wir die Grösse logM (r) durch den Mittelwert m(r,f) ersetzen. 



Sei also /(x) eine ganze Funktion, die in jedem endlichen Punkt der Ebene von zwei 

 endlichen Werten a uud b (a^b) verschieden ist; es soll gezeigt werden, dass f{x) sich auf 

 eine Konstante reduzieren muss. Wir führen den Beweis indirekt und nehmen also an, dass 

 f{x) nicht in der ganzen Ebene einen konstanten Wert beibehält; es existiert dann mindestens 

 ein endhcher Punkt x = Xo, wo die Ableitung f'{x) von Null verschieden ist. Einen solchen 

 Punkt Xo wählen wir im Folgenden als ISlullpuiikt der Zahlenebene. 



3. Nach diesen Festsetzungen zeigen wir zunächst, dass eine Konstante C von der Art 

 existiert, dass die Ungleichung 



(7) mir,f)<C + m[r,^.~) 



für jedes r>o besteht i). In der Tat ist \f == \{f -- a) + a:<,\f — a + a und also nach der 



+ + + 



Ungleichung (6): log , / j < log [ / — o + log a i + log 2; es ist somit zunächst 



(7)' m(r,/)<C + m(r,/-«). 



Wendet man nun die jENS'ENSche Formel (4) auf die Funktion / — a an, so ergibt sich ferner, 

 da f{x) regulär und ^^a, und demnach N (r,f — a) = Nlr, ^-^] = ist, 



(7)" m(r,/-a) = C + m(r,^^J, ■ 



wo C die endliche Konstante log ] / (0) — a bezeichnet. Schliesslich folgt aus der Identität 

 "^- = {.~ —1, dass 



f-(i t~n 



\f-a\^\a-b'yf-a^^ ^1' 



oder unter Benutzung der Ungleichungen (5) und (6) 



wonach 



lo^g Î74„7 ^ log ^ï , + log I f _-* I + log 2 , 



1) Im Folgenden wird jede von ;■ unabhängige Grösse kurz mit C bezeichnet. 

 N:o 6. 



