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 (7)" 



E. OLF Nevanlinna. 



ist. Durch Verbindung der Beziehungen (7)', (7)" und (7)'" ergibt sich die zu beweisende 

 Ungleichung (7). 



Wir schreiben jetzt 



f(x)-b I ^ j f'(x) 1 I f(x) - b I 



und erhalten mittels der Ungleichung (6) 



(8) m (r, -^-" -J) < m (r, ^__ ^J + m (r, ^''''j ■ 



Das letzte Glied wird hier wieder mittels der JENSENSchen Formel (4) abgeschätzt. Bemerkt 

 man, dass /(,x)=zèb, und dass der Ausdruck Nir,'~\ demnach identisch verschwindet, so 



ergibt diese Formel, wenn sie auf die Funktion '~ angewandt wird, 



(9) 



m 



( ., ^ - *) = C + m ( r, /: ,yN (r, /^-j) ^ C + m (r, ^/^^ , 



wo C = log fTfQr- endlich ist. Nach (7) findet man also mit Berücksichtigung von (8) und 



(9), dass 



(10) 



mir,f)<C + m (r, ^.[' J + m[r, ^^ 



für jedes r > o ist. 



4. Von deu funktionentheoretischen Formeln des ersten Abschnittes haben wh- bis jetzt 

 nur den JENSENSchen Satz benutzt. Zur weiteren Abschätzung der zwei letzten Glieder in 

 (10) brauchen wir jetzt die Darstellung (2). Wird diese Beziehung auf die Funktion / (x) — a 

 ill einem Kreis \x\^q angewandt, so ergibt sich durch Differentiation, da die von den 

 Nullstellen und Polen herrührenden Glieder im vorliegenden Falle fehlen. 



/•(a 



(pe 



2ff 



und also für x ! = r « o) : 



(11) \f{^J^iyJ^ e.j logl/(.«^'^)-a|!d^. 



,+ ■1 



Nun ist, da logt =logi + log^ für i?>0, 



'2 TZ 



~J log fiçe'^)~a\d» = m(Q,f~a)+m(Q,^]_^y 







Eliminiert man hier das letzte Glied durch die Gleichung (7)" (wo o statt r zu schreiben 



+ + + -f , , 



ist), und bemerkt mau, dass log|/ — a' <log(|/! + a ) <logl/l + log a +log2, und also 



fn{js,f — a) <ZC + m.{i>,f), so findet man, dass 



Tom. L. 



