Untersuchungen über den l'icar duschen Salz. 

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^ j \\og f{oe'^)-a\\di^<C + 2m{Q,f), 







und also nach (11), dass 



(11)' iTrT-Kr-^ÅG + 2m{o,f)) 



"■ '' \f(x)-a\ ^{Q — ry^ \»'/// 



ist. Unter Anwendung der Ungleichungen (5) und (6) fdigt hieraus schliesslich die füi' 

 < r < e gültige Ungleichung 



(12) 7ft(r,^y <C + log9 + 2]og~ + logm (?,/), 

 Dieselbe Beziehung besteht offenbar auch, wenn a mit b ersetzt wird. ■ 



5. Ersetzt man nun die zwei letzten Glieder der Formel (10) mit den soeben gefundenen 

 Schranken, so ergibt sich die am Anfang dieses Abschnitts in Aussicht gestellte fundamentale 



Ungleichung 



+ + i ■ + 



(13) m(r,/)< C + 2loge + 4log _^. + 2logm (ç,/), 



die für < r < (» besteht, und wo C eine von r und q unabhängige Grösse ist. 



Um die Einwirkung der Bedingung (13) auf das Anwachsen des Mittelwertes m{r,f) 

 näher zu untersuchen, wählen wir eine beliebige Zahl ç' > und setzen 



(14) ?='- + ^'' 



dr 



Dann multiplizieren wir beide Seiten der Ungleichung (13) mit -^^j , wo fc > , und integ- 

 rieren von r=Q„{<::^ g') bis r = q'. Man sieht unmittelbar ein dass die Integrale, welche 

 von den drei ersten Gliedern der rechten Seite herrühren, für jedes q' > ^o unter endlichen, 

 von q' unabhängigen Schranken hegen i). Zur Abschätzung des vierten Integrals 



1) Es ist, da q nach (14) nicht grösser als r+ 1 ist, 



f + 



[Gd,<cÇdr C^ riogp^^ riogO + r)^,. 



J ,-*• + ' J r^+'' kg" J /+1 J r* + l 



fo ?o " Po Po 



Ferner ist 



P. Po ^ ^ " ^ Po ^ 



Hier hat das erste Glied rechts für po^ß'^oc ein endliches Maxim\im; ferner ist 



Q'-r j _ ^ 



e' 



wo h die grössere der Zahlen 1 und k bezeichnet, und das zweite Glied rechts also kleiner als 



_P> Q' 00 



h l dr h r dr h I dr 



i^J'J 7' k J T^^^j 7^' 



I.- *■ 



K- (I 



womit die Behauptung nachgewiesen ist. 

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