10 RolfNevanlinna. 



Z = 



Co 



Co 



bemerke mau, dass ^. <1 + ^ und dç = fl — ,Jdr, wonach 



? + ( 1 + — 1 *■ + 



j_ l \ogm{Q ,f) (ç\'+^ d(j ^ \ eJ f \ogm{g ,n_,^ 



'-'' 7 7o '' 



Als Resultat der Integration ergibt sich also im Ganzen die Ungleichung 

 (16) J'^drKC + cj'^f^^dr, 



?. Po 



die für q' > q,, gültig ist, und wo Cj und Ca von q' unabhängig sind. 

 Aus der letzten Ungleichung folgt unmittelbar, dass das Integral 



(16) /'^ 



Çdr 



für fc > konvergent ist. Wäre es nämlich für ein gewisses fc > divergent, so müsste 



m{r,f), die eine wachsende Funktion von r ist^), für r — oo unbeschränkt wachsen; demnach 



+ 

 wäre logm(r, /) = 6(r)wi(r, /), wo *(r) eine für r — oo verschwindende Grösse bezeichnet ^). 



Es wäre aber dann auch 



') Dass m\r,f) eine wachsende Funktion von r ist, ergibt sich leicht mittels der Formel (1) (S. 5), 

 nach welcher die Ungleichung 



'og|/(re-^)|<,-„Jiog|/-(p«'-^)l ^.^,,_f^-;f„,(^ r^rfa = &V'--y) 



+ 



für r<i(i besteht. Die harmonische Funktion V {r,<f) ist nichtnegativ, und es ist somit auch log i /ïr e'^) | ^ 

 TJAr.cf). oder 



' ^' ■ ^ ■* ^ 2^ / ^^? ^' ' f'*^^'^" ^9 ^"^ = '" ^^' ' ^) ' ^^'- "'■ ^' '^''' 







In einem Kreisring r, ^ r ^ n genügt m{r,f) dem Dreikreissatz. Bezeichnet V (x) diejenige in diesem 



Kreisringe K harmonische Funktion, welche auf den Randkreisen I x | = r, und \x\ = 7\ die Randwerte 



+ 4- 



log I f (i') ! annimmt, so ist auf dem Rande von K: \og\ f\<V, und daher im ganzen Gebiete K: logj/"|^Z7. 



Folglich ist auch m(r,f)< — ( U(re^^)d(p. Der letzte Ausdruck ist aber, wie man z. B mittels der in dem 



'^ " J 

 n 



letzten Abschnitt dieser Arbeit angegebenen verallgemeinerten JENSENschen Formel (77) unmittelbar einsieht, 

 in dem Intervalle r, <:>■<; r^. eine lineare Funkti<in von loge, die in den Endpunkten r = r, und r = 7:, die 

 Werte m{ri,f) bzw. m{r^,f) annimmt. Hieraus folgt die Behauptung unmittelbar. 



-) Diese Bezeichnung wird im Folgenden für jede mit verschwindende Zahl beibehalten. 



r 



Tom. L. 



