Untersuchungen ülier den l'icard' sehen Sats. 11 



Co ?0 



was wegen (15) uumöglich ist. 



Das Integral (16) ist also für jedes /c > konvergent. Bezeichnet ;■ eine beliebig kleine 

 positive Zahl, so existiert daher eine Zahl r. von der Art, dass 



*> 



/-^^d.>«(r,/)/^,^'«^^^ 



für f > rj ist; es ist folghch für jedes /c > 



(17) lim^"^^.^ = 0. 



I- — » CO )" 



Diese Beziehung führt nun unmittelbar zu einem Widerspruch. In der Tat ist nach (11)' 



I f'(x) \^ 



(-^') 





1 f(x) -a\^ 



9 



für jedes ?> x\\ lässt man ç hier ins Unendliche wachsen, so strebt der Ausdruck rechts 

 wegen (17) füi' jedes endliche x gegen Null. Man schliesst also dass /'(x) identisch ver- 

 schwinden muss, und dass folglich /Cr), im Widerspruch mit der anfangs gemachten Vor- 

 aussetzung, sich auf eine Konstante reduziert. Der Beweis des speziellen PiCARoschen Satzes 

 ist hiermit erbracht. 



III. Über die Verteilung der Nullstellen der Funktion f{x) = z 



für verschiedene Werte z. 



6. In diesem Abschnitt lassen wir die oben gemachte Voraussetzung fallen, dass die 

 betrachtete analytische Funktion von zwei endlichen Werten a und h verschieden ist. Die in 

 dem ersten Abschnitt angegebenen Formeln führen dann durch die oben entwickelte Methode 

 zu einer wichtigen Ungleichung zwischen dem Mittelwert m (r, /) und den Anzahlen n (r, f — a) 

 und n{r,f~h) der a- bzw. 6-Stellen der Funktion; diese grundlegende Ungleichung, welche 

 die im vorhergehenden Abschnitt hergeleitete Formel (13) als speziellen Fall enthält, führt 

 zu einer Reihe von Sätzen über den Wertvorrat einer analytischen Funktion in der Umgebung 

 einer singulären Stelle oder Linie. 



Um die erwähnte Grundbeziehung sogleich unter möglichst allgemeinen Voraussetzungen 

 herzuleiten, nehmen wir im Folgenden an, f{x) sei eine analytische Funktion, die innerhalb 

 eines Kreises \x\<CB eindeutig, regulär und nicht konstant ist. Die TAYLORSChe Entwicklung 

 von f{x) in der Umgebung des Nullpunktes sei 



f{x) = Co + C„X'' + Cp+iX'' + ^ -\ , 



wo der Koeffizient Cj, (p>l) von Null verschieden angenommen wird. 

 N:o 6. 



