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7. Es seien a und b zwei beliebig gegebene, von einander verschiedene, endliche Zahlen. 

 Dem im vorigen Abschnitt eingeschlagenen Weg folgend zeigen wir zunächst, dass eine positive 

 Konstante C von der Ait existiert, dass die Ungleichung 



(18) m (r, /)< C + p log r + JV (r, f-a) + m (r, ^) 



für jedes r < E besteht. Die Richtigkeit dieser Beziehung ergibt sich unmittelbar durch 

 Verbindung der einfachen Ungleichungen (7)' und (7)'" (vgl. S. 7, 8) und der Ungleichung 



+ / 1 \ 



(r, f — a)<C + p log r + iV (r, f — a) + m {r, ._ \^ 



m (1 . . 



+ + 



die aus der JENSENSchen Formel (4)' folgt, und wo C = log | Cq — a ; oder log Cp ist, je 



nachdem Ct^^a oder Cn = a ist. 



Zur Abschätzung des Ausdrucks m\rjr_ \ machen wir wieder von der Ungleichung (8) 

 (S. 8) Gebrauch. Für das letzte Glied dieser Ungleichung findet man mittels der JENSENSchen 

 Formel jetzt den Wert 



m 



(r, ^~^) = ao + ßologr-N (r, /_^-^ + N (r, ^^ .,*) + m (r, ^A^), 



1 c — 6 1 



wo ao=log p-^!, /^0=1— P. falls Go^b, und ao=log-, ßo=l, falls Co = b. Es ist also 



jedenfalls 



(19) m (r, '■" '') ^ log I ^ I + p log ^ + log r + iV (r, / -- b)- AT (r, /') + m (r, ^C^) - 



Nach (18), (8) und (19) schliesst man, dass die Ungleichung 



+ 1 + 



m(r,/)<C + j)log^.+ (p + l)logr + A'(r,/- a) I A' (r,/- b)- A'(r,/') 



für jedes r<7V besteht; C bezeichnet hierbei eine nur von a, b, Co und c^ abhängige Grösse. 



8. Die zwei letzten Glieder der Beziehung (20) werden, wie vorher, mittels der Formel 

 (2) (S. 6) abgeschätzt. Durch Differentiation findet man für die logarithmische Ableitung der 

 Funktion f{x) — a die für \x\<Cq gültige Darstellung 



^=^ flog|/(ç.^^)-a:^.^%d^+ V 



x)-a 2nJ »"^"f -' (pe'»-x)' | „ 4^ 



fix)- a 2nJ s>il\<i J (gei^-xf I „ |<p (^ ~ V ^^' ~ "^''^^ 



wobei O;. (,«. = 1, 2, ■ • •) die Nullstellen von f{x) — a bezeichnen. Es ist demnach für la;j = 

 r<Q<R 



(21) 



/^k 2^^ rilog!/(ee*'^)--a||d^+ V 





Tom. L. 



